《线性代数》练习题(附答案).doc

《线性代数与解析几何》练习题 行列式部分 一．填空题： 若排列1274569是偶排列，则 已知是五阶行列式中的一项，且带正号，其中（则 设是n阶可逆阵，且，则，（为常数） 已知 用表示D的元素的代数余子式，则，，行列式 设有四阶矩阵 ，其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式 6．设 则 7．设 上述方程的解 8．设A是阶方阵，且A的行列式，而是A的伴随矩阵，则 9．若齐次线性方程组 只有零解，则应满足条件。 二．计算题： 已知5阶行列式 求和，其中是元素的代数余子式。 解： 计算行列式。 解： 设是阶方阵，，且，求。 解： 设是阶实对称矩阵，，若，求。 解：相似于对角阵， ．而r(A) = k , 所以。 对于矩阵 A+3I , 有一个，以及一个， 计算 解： 矩阵部分 填空题： 设三阶方阵A，B满足，且，则。 设，其中，则矩阵A的秩= 1 . 设A是的矩阵，且A的秩为2，而，则（） 已知a=[1 , 2 , 3 ] , b=[ ] , 设A=，则 （） 设矩阵 则逆矩阵 设，B为三阶非零矩阵，且AB=O ，则 设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 0 。 设A，B 均为阶矩阵，，则 设A是三阶方阵，是A的伴随矩阵，，则（）。 10．设A ，C分别为阶和阶的可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵 设阶方阵A满足方程，则A的逆矩阵（） 设 ，而为正整数，则 设A ，B是阶矩阵，且AB=A+B ，则 （） 选择题： 1．设阶矩阵A ，B ，C满足关系式 ABC=E ，其中E 是阶单位矩阵，则必有（ D ） （A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E 2．设A是阶方阵，是A的伴随矩阵，又为常数，且，则必有=（ B ） 3．设A是阶可逆矩阵，是A的伴随矩阵，则有（ A ） 4．设 则必有（ C ） 5．设A ，B均为阶方阵，则必有（ D ） （A） （B） （C） （D） 6.设维向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则( C ) (A) 0 (B) –I (C) I (D) 7.设A是阶可逆矩阵，是A的伴随矩阵,则( C ) (A) (B) (C) (D) 8.设阶矩阵 ,若矩阵A的秩为,则必为( B ) (A) 1 (B) (C) –1 (D) 9.设均为阶可逆矩阵,则等于( C ) (A) (B) (C) (D) 计算题： 已知，求 （是自然数） 解：由归纳法， 已知AP=PB ，其中 ， 求：及 。 解： 3．已知阶方阵 求A中所有元素的代数余子式之和。 解： 已知矩阵满足：，其中，求矩阵。 解： 5．设矩阵，满足 其中 是A的伴随矩阵，求矩阵B 。 解： 已知，且，其中为三阶单位矩阵，求矩阵。 解： 设阶方阵，求。 解： 故时，；时， r(A)=n-1; 当a≠1且a≠1-n时, r(A)=n 证明题： 设A是阶非零方阵，是A的伴随矩阵，是A的转置矩阵，当时，证明。 证明： 另证（反证法）： 与题设矛盾。 设是阶方阵，若，证明： （其中是A的伴随矩阵） 证明： 设 ，为的代数余子式，且 ，求证： 证明： 用矩阵秩和向量组秩的关系证明 证明：设， 即的列皆由的列线性表示，故 类似可证的行皆由的行线行表示，所以。 设为矩阵，为矩阵，若，证明 证明： 所以，即为齐次线性方程组的解，因此可由的基础解系线性表示，所以，即。 设A是阶方阵，是A的伴随矩阵，证明： 秩 证明：(1) 可逆，而可逆， （2）， 又A至少有一个n-1阶子式不为零，，从而 （3）的所有n-1阶子式全为