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《抽象代数基础》
习 题 解 答
习 题 解 答
习习题题 解解 答答
于 延 栋 编
网
案
答
后
盐城师范学院数学科学学院
课
二零零九年五月
第一章 群 论
§1 代数运算
, 上的乘法 的乘法表如下:
1.设A={e,a,b,c} A “?”
···· e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
证明:“?”适合结合律.
证明 设 为 中任意三个元素.为了证明 适合结合律,只需证明
x, y, z A “?”
(x? y)?z= x?(y?z).
下面分两种情形来阐明上式成立.
I. 中至少有一个等于 .
x, y, z e
当x= e时,(x? y)? z= y? z= x?(y? z);
当y= e时,(x? y)? z= x?z= x?(y?z);
当z= e时,(x? y)? z= x? y= x?(y?z).
II. 都不等于 .
x, y, z e 网
(I)x= y= z.这时,(x? y)? z= e? z= z= x= x?e= x?(y? z).
案
(II)x, y, z两两不等.这时,(x? y)? z= z? z= e= x?x= x?(y? z).
答
(III)x, y, z中有且仅有两个相等.
当 时, 和 是 中的两个不同元素,令 表示 中其余的
x= y x z {a,b,c} u {a,b,c}
后
那个元素.于是, , ,从而, .
课(x? y)? z= e? z= z x?(y? z)= x?u= z (x? y)? z= x?(y?z)
同理可知,当 或 时,都有 .
y= z z= x (x? y)? z= x?(y? z)
2.设 是集合 上一个适合结合律的代数运算.对于 中元素,归纳定义
“?” A A
n
∏ai 为:
i=1
1 r+1 ? r ?
a = a , a = a ?a .
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