食饵——捕食者数学模型专业论文9720298.docVIP

食饵——捕食者数学模型 摘要：在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为 了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。本文根据 它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵—捕食者模 型。我们利用matlab软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察 猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性 关键词：自滞作用 数值解matlab 平衡点 相轨线分析 稳定性 问题重述 自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。 二，问题背景 一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降（食用鱼和鲨鱼同时捕捞），但是其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？Volterra建立的模型回答了这个问题 三，问题分析 首先，在复杂的自然界中，存在着许多影响种群发展的因素。假如给食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）一个理想的环境，它们是呈J形增长的。现实情况中，由于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。我们利用软件matlab求出微分方程的数值解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，验证猜测的的正确性。最后对数学模型进行修改和确定。 四、基本假设 1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响 2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡 3，假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施一直维持这以结构 4，假设捕食者离开食饵无法生存 5，食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝 五，符号说明 X（t）：食饵（食用鱼）在时刻t的数量 Y（t）：捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量 r1：食饵在独立生存时以指数规律增长，（相对增长率） r2：捕食者独立生存时以指数规律增长，（相对增长率） N1：食饵的最大容量 N2：捕食者的最大容量 1：单位数量乙（相对于N2）提供的供养甲的食物量为单位甲（相对于N1）消耗的供养甲食物量1倍 2：单位数量甲（相对于N1）提供的供养甲的食物量为单位乙（相对于N2）消耗的供养甲食物量2倍 d：捕食者离开时独立存在的死亡率 六，模型建立 食饵（甲）数量x（t），捕食者（乙）数量y（t） 甲独立生存的增长率r =rx 乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比 （t）=（r-ay）x=rx-axy （1） a~捕食者掠取食饵的能力 乙独立生存的死亡率d =-dy 甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比 （t）= -（d-bx）y=-dy+bxy （2） b~食饵供养捕食者的能力 方程（1），（2）无解析 6.1模型建立 我们考虑自身的阻滞增长作用，建立以下模型 1（t）=r1x1（1--1） (3) 2(t)=r2x2(-1+2-) (4) 6.2 模型求解 利用数学软件matlab分别求解（3），（4）两个微分方程的数值解。记食饵和捕食者的初始数量为 X（0）=x0 y（0）=y0求数值解（t），（t）及相轨线y（x），设r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab软件编制程序如下： r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02; xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; function xdot=shier(t,x) ts=0:0.1:15; x0=[25,2]; [t,x]=ode45(shier,ts,x0);[t,s], plot(t,x),grid,gtext(x(t)),gtext(y(t)), pause, plot(x(:,1),x(:2)),grid, 可得数值解（t），（t）及相轨线y（x） 数值解（t），（t）的图形 相轨线y（x）的图形 根据图形和数值结果可以猜测，x（t），y（t）是周期函数，相应的y（x）是封闭曲线，从数值解近似的定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3和2.0，y的最大值最