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数值分析试题10C
华南理工大学研究生课程考试
《数值分析》试卷C
2011年1月7日
注意事项:1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚;
2. 所有答案请按要求填写在试卷上;
3. 课程代码:S0003004
4. 考试形式:闭卷
5. 考生类别:硕士研究生
6. 本试卷共八大题,满分100分,考试时间为150分钟。
一.选择、判断、填空题(10小题,每小题2分,共20分):
*** 第1--2小题: 选择A、B、C、D四个答案之一, 填在括号内, 使命题成立 ***
1.若近似数0.012300的绝对误差限为0.5×10-5,则该近似数有( )位有效数字。
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2.在下列求解常微分方程初值问题的数值方法中,( )的局部截断误差为O (h 3 )。
A) 隐式Euler公式 B) 梯形公式 C) 3阶Runge-Kutta法 D) 4阶Runge-Kutta法
*** 第3--6小题: 判断正误, 正确写"√ ", 错误写"× ", 填在括号内 ***
3.设有递推公式 ,如果取进行计算,则该计算过程是数值不稳定的。( )
4.解方程组 Ax=b 时,Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代对任意的x(0)收敛的充分必要条件是A严格对角占优。( )
5.方程 不存在有根区间。( )
6. 4个节点的Gauss型求积公式具有9次代数精度。( )
*** 第7--10小题: 填空题,将答案填在横线上 ***
7.设,则 , 。
8.已知方程组 Ax=b ,其中,则求解此方程组的的J迭代法的迭代矩阵是
。
9.设,则均差= 。
10.设数值求积公式为Newton-Cotes 公式, 则当 n为奇数时代数精度为 次, n为偶数时代数精度为 次。
二.( 12分)设给定y=f(x)(设f(x)四阶连续可微)的数值表
xi 0 1 2 yi=f(xi) 1 3 4
(1)求上表的二次插值多项式p(x),并写出余项 f(x)-p(x)的表达式(不必证明) ;
(2)求一个三次多项式q(x),使它取上表中各值且满足q'(1)= f'(1) = 1 。并写出余项f(x)-q(x)的表达式(不必证明)。
( 11 分) 若用最小二乘法寻找形如 的多项式,使之与一组已知数据: 相拟合, 试从最小二乘法概念出发(不是直接从法方程出发)导出a和b满足的法方程(不必解出a和b)。
四.(11分) 已知某求积公式的形式如下
(1) 试求出其中待定的常数,使得求积公式代数精度尽量高。
(2) 该积分公式是Guass型的吗?请说明理由。
五.( 11 分) 用列主元Gauss消去法解方程组(用增广矩阵表示过程):
六.(11 分) 设非奇异, , 证明: 对于 迭代公式
产生的近似解序列收敛于方程组Ax=b 的解,其中 。
七.( 12分) 试导出求的Newton迭代公式,使公式既无开方又无除法运算,并根据收敛阶的判据,确定其收敛阶。
八.(12分) 若用Euler公式( yn +1 =yn +hf(xn ,yn) )解初值问题
(1)试推导出其数值解的表达式:,并证明它收敛于准确解 。
(2)讨论该数值方法的绝对稳定条件。
《数值分析》C卷 第 3 页 共 3 页
姓名 学号 学院 专业 任课教师
( 密 封 线 内 不 答 题 )
……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………
_____________ ________
…
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