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教师: 学生:_______ 时间:2013年 月 日 时间
教学目标:
空间向量与立体几何
一、知识网络:
知识要点。
1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
;;
运算律:⑴加法交换律:
⑵加法结合律:
⑶数乘分配律:
3. 共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,平行于,记作。
当我们说向量、共线(或//)时,表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线。
(2)共线向量定理:空间任意两个向量、(≠),//存在实数λ,使=λ。
4. 共面向量
(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明:空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理:如果两个向量不共线,与向量共面的条件是存在实数使。
5. 空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使。
若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底,叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论:设是不共面的四点,则对空间任一点,都存在唯一的三个有序实数,使。
6. 空间向量的直角坐标系:
(1)空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系中,对空间任一点,存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作,叫横坐标,叫纵坐标,叫竖坐标。
(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为,这个基底叫单位正交基底,用表示。
(3)空间向量的直角坐标运算律:
①若,,则,
,,
,
,
。
②若,,则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
(4)模长公式:若,,
则,
(5)夹角公式:。
(6)两点间的距离公式:若,,
则,
或
7. 空间向量的数量积。
(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角,记作;且规定,显然有;若,则称与互相垂直,记作:。
(2)向量的模:设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:。
(3)向量的数量积:已知向量,则叫做的数量积,记作,即。
(4)空间向量数量积的性质:
①。②。③。
(5)空间向量数量积运算律:
①。②(交换律)。
③(分配律)。
3.空间向量的应用
(1)用法向量求异面直线间的距离
如右图所示,a、b是两异面直线,是a和b 的法向量,点E∈a,F∈b,则异面直线 a与b之间的距离是为平面α的法向量,则 A到平面α的距离为;
(3)用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。用法向量求二面角
如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量与,则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
法向量求直线与平面所成的角
要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦,易知θ=或者中,设,则x+y+z=(A )
A. B. C. D.
2、在正方体ABCD—中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则异面直线OP与AM所成角的大小为( C )
A. B. C. D. 与P点位置无关
3、如图,正方体ABCD—中,E、F分别是AB、CC1的中点,则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为( B )
A. B. C. D.
4、 如图所示,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE。
(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的大小;
(3)求点D到平面ACE的距离。
考点1:利用方向向量计算异面直线所成角:
例1:如图1所示,在空间直角坐标系中,空间四面体的四个顶点分别为O(0,0,0),A(4,0,0),B(3,2,0),P(1,4,1),R,S是PA的三等分点,M .N分别是PB. OB的中点,直线N
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