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棱台体体积公式推导
正棱台体公式推导
(1)将正四棱台切割成九部分(如下图)
(鸟瞰(2)用字母表示图形部位
顶面棱长为,底面棱长为a,棱台体高为h。
(3)体积的计算
(1)一个方形体E,其底面是边长为、高为的方形体,体积为;
(图V1)
(2)四个四棱锥A、C、G、I,用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为、高为的方形体。
(四棱锥) (三个四棱锥拼合图形) (多出一个四棱锥)
方形体的体积为()2h。其中一个四棱锥的体积就是()2 h。四个四棱锥的体积和则为()2 h。
化简可得:()2 h
(3)四个直角三棱柱B、D、F、H,可以拼成两个长、宽、高分别为、 、的长方体,体积和为b(a-b)h。
(三棱柱) (拼合图形)
(4)四棱台的体积
四棱台的体积等于上述三项(九个部分)之和
V=+()2h+ b(a-b)h
解:V= [b 2 +()2+ b(a-b)] h
由此得出:正棱台体的体积等于截面积的和乘以高。
截面积组成:
方形体的截面积:顶面的边长乘以边长; 字母表示 b2
四个三棱柱截面积和: 字母表示b(a-b)
一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。
四个四棱锥截面积和: 字母表示()2
一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。
化简可得
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