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* * * * * * * * * * * * * * * 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第3章 曲线拟合的最小二乘法 给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。 因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段： ①不要求过所有的点（可以消除误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。 有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。 先讲些预备知识 对如上2类问题，有一个共同的数学提法：找函数空间上的函数g，使得g到f的距离最小。 向量范数 映射： 满足： ①非负性 ②齐次性 ③三角不等式 称该映射为向量的一种范数 预备知识 我们定义两点的距离为： 定义 常见的范数有： 定理（范数等价性）：设 为任意两种范数，则 存在与x无关的正常数c1和c2，使得 定义：函数f，g的关于离散点列 的离散内积为： 常用范数的等价关系： 定义：函数 f 的离散范数为 提示：该种内积，范数的定义与向量的 2 －范数一致 我们还可以定义函数的离散范数为： f(x)为定义在区间[a,b]上的函数， 为区间上n+1个互不相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 g(x) 满足 f(x) 和 g(x) 的距离最小 如果这种距离取为2－范数的话，称为最小二乘问题 曲线拟合的最小二乘问题 定义 下面我们来看看最小二乘问题： 求 使得 最小 设 最小 则 即 关于系数 由于它关于系数 最小，因此有： 即 写成矩阵形式有： 法方程 由 的线性无关性，知道该方程存在唯一解 ① 第一步：函数空间的基 ，然后列出法方程 ② 第一步：函数空间的基 ，然后列出法方程 例： 第一步：函数空间的基 ，然后列出法方程 由 ，可以先做 求解一个矛盾方程组，计算的是在均方误差 极小意义下的解 也就是最小二乘问题。 我们有： 矛盾方程组恒有解，且 矛盾方程组的求解 定义：矩阵范数 矩阵范数，是由向量的范数定义的 矩阵范数和条件数 矩阵范数也是等价的 对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数 列和的最大值 行和的最大值 矩阵范数的一些性质： ① ② ③ ④ ⑤ 定理： 若 为 的特征值，则 证： x为A的特征值 #证毕 定义： 谱半径 易知： 条件数和病态矩阵 定义：条件数 表示某种范数 设 ， 引入误差 后 ，解引入误差 ，则 注意到 因为： 条件数 很小 条件数表示了对误差的放大率 同样，类似有 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级。 精确解为 例 计算cond (A)2 。 A?1 = 解：考察 A 的特征根 39206 >> 1 ? 测试病态程度： 给　一个扰动 ，其相对误差为 此时精确解为 2.0102 > 200% 为对称矩阵 Homework 对数据点 估计如下两组基函数的法方程的条件数 * * * * * * * * 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *