行列式与克莱默.pptVIP

作业 1.设A是奇数阶反对称矩阵，证明其行列式为零。 2.若一个n阶方阵的零元素个数超过 证明其行列式为零。 3.计算 4.设 是次数不超过 的多项式，证明： 克莱姆法则 第五节 一、线性方程组 二、克莱姆法则 定理1：方程组(1)一定有解，且解是唯一的充要条件是线性方程组(1)的系数行列式D≠0。 定理2：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必等于零，即D =0。 定理3：齐次方程组(2)只有零解，而没有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0。 定理4：齐次方程组(2)有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D =0。 三、几个相关定理 在利用行列式性质(1)进行行列式计算时，基本的思路是把行列式化成三角行列式，当然在化的过程中也要兼顾其它性质的应用。 行列式的性质(2) 第四节 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 余子式，记作 Mij；记 Aij = (-1)i+j Mij， Aij叫做元素 aij 的代数余子式。 一、余子式与代数余子式 二、k阶子式及其余子式和代数余子式 在n阶行列式D中任选k行k列，位于这k行k列的交叉点处的k2个元素按原来的位置组成的k阶行列式M叫做D的一个k阶子式。在D中划去M所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的n-k子式N叫做M的余子式。设M所在的行数与列数依次为i1i2…ik，j1j2…jk，M的余子式N乘以 叫做M的代数余子式。 M 是 D 的一个2阶子式，N是 M 的一个余子式，A 是 M 的一个代数余子式 证明： 证明： 第er章 行列式 行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。 §1.1 二阶、三阶行列式，全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1） §1.4 行列式性质（2） §1.5 克莱姆法则 二、三阶行列式 全排列及其逆序数 第一节 一、二阶行列式与三阶行列式 注： 该定义称之为对角线法则。 1.全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。 2.逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数，可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成了一个逆序。 二、全排列与逆序数 3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ?i，即： ? ( p1 p2 …pn)= ? 1 + ? 2 +…+ ? n 就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n ? 1)24…(2n)的逆序数。 解：在该排列中，1 ～(2n?1)中每个奇数的逆序数全为0，2的逆序数为(n ? 1)，4的逆序数为(n ? 2),…，(2n ? 2)的逆境序数为1，2n的逆序数为0，于是该排列的逆序数为 例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8} 当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3 例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，求pn…p3 p2 p1的逆序数（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列） 解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合数即 ： n阶行列式的定义 第二节 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，