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计算传热学 第4讲 扩散方程的数值解 Numerical Solution of Diffusion Equations 主要内容 一维稳态问题的数值解 一维非稳态问题 多维非稳态问题的离散化 差分方程的求解 主要目的 掌握用数值方法求解传热问题的整体步骤 数值方法的计算机实现 边界条件的处理 阅读与作业 阅读要求：陶文铨《数值传热学》第4章 作业：P124 题4－1；P125 题4－7 完成课外作业第一题和第二题 4.1 一维稳态导热问题的数值解 控制方程： 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1.1求解区域的离散化 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1.2 源项的线性化 在通常情况下，S＝S（T） 线性化： S＝Sc＋SpT （2） 其中，按负斜率源项原则， Sp＝Sp(T*) ? 0 （3） 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1.3 控制方程的离散化 将方程（1）两边通乘A（x），并对x从w到e积分： 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1 一维稳态导热问题的数值解 在上面的积分过程中，我们假定： 待求变量T在控制容积P上为常数 整个控制容积的A(x)为常数，且等于P点的值。 4.1 一维稳态导热问题的数值解 将（5）和（6）代入方程（4）， 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1 一维稳态导热问题的数值解 可能的改进方案：对源项积分时采用线性分布 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1.4交界面参数的计算 线性插值法（算术平均） 调和平均法 待求变量插值 Kirchhoff变换法 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1.5 跃变界面的处理 把跃变界面作为控制面 调和平均法 把跃变界面作为节点 算术平均法 Kirchhoff变换法 待求变量插值法 把跃变界面放置在其它位置 所有方法都适用 把跃变界面作为边界 4.1 一维稳态导热问题的数值解 把跃变界面作为边界 可以考虑接触热阻rc (W·m2)/K 满足流的唯一性原则， 4.1 一维稳态导热问题的数值解 4.1.6 边界条件的处理 直角坐标 左边界，第二类边界条件 边界条件的处理 网格是用外节点法划分的 边界上出现半个控制容积 边界条件的处理 整理后得到： 边界条件的处理 元体能量平衡法： 在研究边界节点所代表的控制容积（元体）的能量平衡 流入CV的能量＋内热源发出的热量＝流出CV的能量 边界条件的处理 代入能量守恒关系， 边界条件的处理 控制方程法 在直角坐标的条件下，方程（1）变为， 边界条件的处理 另一方面，参照附图， 边界条件的处理 所以， 边界条件的处理 整理后得到， 边界条件的处理 二阶精度的Taylor级数展开法 边界条件的处理 代入式（16），整理后得到， 边界条件的处理 二阶精度 具有一般性 增加计算工作量 一般很少采用 边界条件的处理 求解区域是用内节点法离散化的 边界条件的处理 说明： 尽管它与一阶Taylor级数展开法的结果形式上相同，但它却是二阶精度的！ 请大家证明这一结论。 采用内节点法划分网格时，即使在均匀网络的前提下，第1个近边界节点也不是等步长的。 边界条件的处理 例如，对于直角坐标系，对于节点2， 边界条件的处理 或写成， 边界条件的处理 附加源项法（Additional source term method) 以内节点法为例 由方程（19）解出边界节点上的待求变量T1， 边界条件的处理 代入与第1个近边界节点的差分方程（21）， 边界条件的处理 整理后得到， 边界条件的处理 其中 边界条件的处理 对于第3类边界条件，也可以做类似的处理，但是这时， 边界条件的处理 附加源项法的实质 边界节点消去法 不仅能用于内节点网格，也能用于外节点网格 实施方法： 计算附加源项：Sc,ad，Sp,ad 把附加源项计入该控制容积中的源项中 令与边界节点对应的系数（aW）等于0 特别提示 边界条件的处理是传热问题数值计算最重要的环节之一 元体能量平衡法的基础地位 尽可能采用外节点法划分网格 边界节点消去法 广泛应用 提高收敛速度 尽可能采用均匀网格 边界节点的离散化方程在形式上与内部节点的相同 4.1.7 差分方程的求解 将前面得到的差分方程（8）改写为， 4.1.7 差分方程的求解 4.1.7 差分方程的求解 与方程（33）对比，知， 4.1.7 差分方程的求解 TDMA法Fortran源程序 4.1.8 计算机实现：算例 求解下面的一维稳态导热问题： 4.1.8 计算机实现：算例 求解区域的离散化： 内节点法：先划分控制容积，在确定节点