湘潭大学2016年硕士研究生数学分析高等代数考试大纲和参考书目.docVIP

湘潭大学2016年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲 科目代码科目名称考 试 大 纲 高等代数 适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对高等代数的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下： 1．多项式：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，整除的概念和常用性质，带余除法，辗转相除法，最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理，标准分解式的概念，重因式的概念、性质及一多项式有无重因式的判别方法，多项式函数的概念、性质及根，代数基本定理，复系数与实系数多项式的因式分解定理，有理系数多项式、整系数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系，整系数多项式的有理根的求法，Eisenstein判别法。 2．行列式：n级??列的概念和性质，n级行列式的概念、性质及计算方法，矩阵的概念及其初等变换，行列式按一行（列）展开，代数余子式，范德蒙行列式，克兰姆（Cramer）法则及应用。 3．线性方程组：消元法，n维向量空间的概念和运算性质，线性相（无）关性的概念和性质，矩阵的k级子式，矩阵的秩的概念、性质及与行列式的关系，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。 4．矩阵：矩阵的概念与运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆的概念、性质及求法，矩阵分块的概念和分块矩阵的运算，初等矩阵及与矩阵的初等变换的关系，分块乘法的初等变换及应用。 5．二次型：二次型的矩阵表示，矩阵的合同关系，对称矩阵的概念和性质，用非退化线性变换化二次型为标准形，实、复二次型的规范型，惯性定理与惯性指数，正定、半正定二次型的概念、性质及判别方法。 6．线性空间：集合、映射的定义与运算性质，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标的概念和性质，基变换与坐标变换，线性子空间的概念和性质，子空间的交与和的概念及性质，子空间的直和的定义及判别准则，线性空间的同构，同构映射的概念和性质。 7．线性变换：线性变换的定义、运算及其简单性质，线性变换的矩阵及其性质，矩阵的相似关系的定义及其性质，特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算，线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件（即矩阵相似于对角矩阵的条件），线性变换的值域与核的概念及性质，不变子空间的概念，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，若当（Jordan）标准形的概念及应用，最小多项式的概念和性质及求法。 8．λ-矩阵：λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换，λ-矩阵在初等变换下的标准形，行列式因子、不变因子和初等因子的定义、性质及求法，矩阵相似的条件，复矩阵若当（Jordan）标准形的计算。 9．欧几里得空间：欧几里得空间（含内积）的定义与基本性质，欧几里得空间中基的度量矩阵，正交向量组、正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系，施密特正交化方法，欧几里得空间的同构，正交变换、正交矩阵的定义和性质，子空间的正交关系，对称变换、实对称矩阵的性质及其标准形的求法，酉空间的概念和性质。  科目代码科目名称考 试 大 纲 数学分析 适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对数学分析的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下： 1．集合与映射：集合与映射的概念及运算，一元函数的概念，初等函数，复合函数，函数的分段表示，隐式表示，参数表示，函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，三角不等式与均值不等式。 2．数列的极限： 实数系，最大数与最小数，上确界与下确界的概念，实数系的连续性，数列极限的定义, 数列极限的性质 ，数列极限的四则运算法则， 无穷小量与无穷大量的概念，Stolz定理, 单调有界数列必有极限 ，闭区间套定理 ，Bolzano-Weierstrass定理 ，Cauchy收敛原理。 3．函数极限与连续函数：函数极限的概念、性质和四则运算法则，函数极限与数列极限的关系，单侧极限，函数极限定义的扩充，连续的概念，连续函数的四则运算法则，不连续点的类型，反函数的连续性，复合函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性定理， 最值定理，介值定理，零点存在定理，一致连续概念，Cantor定理.）。 4．导数：导数的概念，几何意义，基本初等函数的求导公式，求导的四则运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，用参数方程表示的函数的求导法，可导与连续的关系，微分的概念及四则运算法则，复合函数的微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数、高阶微分的概念，高阶导数的运算法则，一些简单函数的高阶导数、高阶微分。 5．微分中值定理及应用： 罗尔定理、Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，L’Hospital法则，Taylor公式，一元函数