初等代数论文.doc

浅谈多项式研究 学号： 班级： 姓名： 摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。 关键词：多项式 恒等定理 因式分解 初等数学 1.多项式的历史 多项式的研究，源于“ HYPERLINK "/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8" \o "代数" 代数 HYPERLINK "/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B" \o "方程" 方程求 HYPERLINK "/w/index.php?title=%E8%A7%A3_(%E6%95%B8%E5%AD%B8)&action=edit&redlink=1" \o "解 (数学)（页面不存在）" 解”， 是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在 HYPERLINK "/wiki/%E8%B2%A0%E6%95%B8" \o "负数" 负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x2 + 1，是没有任何 HYPERLINK "/wiki/%E6%A0%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" \o "根 (数学)" 根的——严格来说，是没有任何 HYPERLINK "/wiki/%E5%AF%A6%E6%95%B8" \o "实数" 实数根。若我们容许 HYPERLINK "/wiki/%E8%A4%87%E6%95%B8" \o "复数" 复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是 HYPERLINK "/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" \o "代数基本定理" 代数基本定理。 能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是 HYPERLINK "/wiki/%E6%96%87%E8%97%9D%E5%BE%A9%E8%88%88" \o "文艺复兴" 文艺复兴后欧洲数学主要课题。 HYPERLINK "/w/index.php?title=%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" \o "一元二次多项式（页面不存在）" 一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在 HYPERLINK "/wiki/1824%E5%B9%B4" \o "1824年" 1824年 HYPERLINK "/wiki/%E9%98%BF%E8%B4%9D%E5%B0%94" \o "阿贝尔" 阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。数年后， HYPERLINK "/wiki/%E4%BC%BD%E7%BD%97%E5%8D%8E" \o "伽罗华" 伽罗华引入了 HYPERLINK "/wiki/%E7%BE%A4" \o "群" 群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为 HYPERLINK "/wiki/%E4%BC%BD%E7%BE%85%E7%93%A6%E7%90%86%E8%AB%96" \o "伽罗瓦理论" 伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古 HYPERLINK "/wiki/%E5%B8%8C%E8%87%98" \o "希腊" 希腊难题 HYPERLINK "/wiki/%E4%B8%89%E7%AD%89%E5%88%86%E8%A7%92" \o "三等分角" 三等分角不可能。另一个难题 HYPERLINK "/wiki/%E5%8C%96%E5%9C%93%E7%82%BA%E6%96%B9" \o "化圆为方" 化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是 HYPERLINK "/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87" \o "圆周率" 圆周率乃一个 HYPERLINK "/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B8" \o "超越数" 超越数，即它不是有理数多项式的根。 2.多项式的一般概念 给一个 HYPERLINK "/wiki/%E7%92%B0" \o "环" 环 R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量 x，则多项式是以下代数式： ， 当中 a0,?…,?an 是 R 的元素。用  HYPERLINK