§3.2.3函数模型的应用实例（一）.doc

§3.2.3函数模型的应用实例（一） 教学目标：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题. 教学重点、难点：一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点. 教学方法：本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律。 教学过程： 一、复习引入 回顾一次函数和二次函数的有关知识. 一次函数、二次函数的解析式及图象与性质. 二、以旧引新，激发兴趣. 1．一次函数模型的应用 例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程. 教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答. 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 = (h)，所以. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是 2h内火车行驶的路程=233(km). 通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法. 2．二次函数模型的应用 xy0300×20 = 60001(300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802(300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203(300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204(300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805(300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006(300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807(300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208(300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209(300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010(300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011(300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012(300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013(300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 让???生自己读题，并回答下列问题： ①题目求什么，应怎样设未知量； ②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系； ③学生完成题目. 法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题. 师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答. 例2 解答：方法一 依题意可列表如下： 由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了. 方法二 设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 – 10x ) = –20x2 + 600x – 200x + 6000 = –20(x2 – 20x + 100 – 100) + 6000 = –20(x – 10)2 + 8000. 由此得到，当x = 10时，ymax = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元. 解应用题首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力. 3．分段函数模型的应用 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km, 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式， 并作出相应的图象. 解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km. （2）根据图，有 这个函数的图象如图所示. 实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用的进一步深体. 巩固练习 习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h