2009届新课标数学考点预测坐标系与参数方程.doc

高三理科专用 PAGE   PAGE 10 2009届新课标数学考点预测--坐标系与参数方程 坐标系与参数方程在高考中根据各省的情况而选考，一般是5-10分的比较容易的题，常与几何证明选讲，不等式选讲和矩阵与变换等多个选修模块进行选择其一解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定。 一、极坐标 平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则有和这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由。注意在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角。当r＜0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M （r，q）也可以表示为 1．直接求解 例1．在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程。 解：由题意可知圆的标准方程为，圆心是(3．0) 所求直线标准方程x＝3，则坐标方程为cos＝3． 答案：cos＝3． 评注：在研究极坐标问题时常常要把极坐标方程转化为普通方程解决问题。 例2．（08广东卷理13）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ． 分析：本题给出的是极坐标方程，而所求的交点为极坐标，可以直接求解。 解：联立解方程组解得,即两曲线的交点为。 答案： 评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解。当然也可以转化为普通方程解答。 2．由极坐标求最值 例3．（2009大丰市）已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。 分析：可以把极坐标方程转化为普通方程，再结合图形解答问题。 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－)2＋y2= ρcosθ=1即x=1直线与圆相交。所求最大值为2，最小值为0 评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两曲线位置关系的重要方法。 例4．（2008盐城市）在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值. 分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答。 解法一、将极坐标方程转化为普通方程：， 可化为，在上任取一点A,则点A到直线的距离为 ,它的最大值为4 解法二、将极坐标方程转化为普通方程：， 可化为，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4。 评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想。 3．极坐标方程研究两曲线的位置关系 例5．（江苏省南通市2008-2009）求直线（t为参数）被圆（α为参数）截得的弦长． 分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长。 解：把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为．圆心O到直线的距离，弦长． 所以直线被圆截得的弦长为． 评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参。 二、参数方程 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单，与运动有关的问题选取时间做参数，与旋转的有关问题选取角做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 参数方程化