2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练67.doc

题组层级快练(六十七) 1．(2014·新课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A.eq \f(3\r(3),4)　　　　　　　　 B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4) 答案　D 解析　先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解． 由已知得焦点坐标为F(eq \f(3,4)，0)，因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－eq \f(3,4))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0. 方法一：联立抛物线方程化简，得4y2－12eq \r(3)y－9＝0. 故|yA－yB|＝eq \r(?yA＋yB?2－4yAyB)＝6. 因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4). 方法二：联立方程，得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0， 故xA＋xB＝eq \f(21,2). 根据抛物线的定义有 |AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12， 原点到直线AB的距离为 h＝eq \f(|－3|,\r(42＋?－4\r(3)?2))＝eq \f(3,8). 因此S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·h＝eq \f(9,4). 另解：|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(3,?\f(1,2)?2)＝12， S△ABO＝eq \f(1,2)·|OF|·|AB|·sinθ＝eq \f(1,2)·eq \f(3,4)·12·eq \f(1,2)＝eq \f(9,4). 2．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \o(OA,\s\up10(→))·eq \o(AF,\s\up10(→))＝－4，则点A的坐标为(　　) A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2eq \r(2)) 答案　B 解析　设A(x0，y0)，F(1,0)，eq \o(OA,\s\up10(→))＝(x0，y0)， eq \o(AF,\s\up10(→))＝(1－x0，－y0)，eq \o(OA,\s\up10(→))·eq \o(AF,\s\up10(→))＝x0(1－x0)－yeq \o\al(2,0)＝－4. ∵yeq \o\al(2,0)＝4x0，∴x0－xeq \o\al(2,0)－4x0＋4＝0?xeq \o\al(2,0)＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2. 3．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若eq \o(MA,\s\up10(→))·eq \o(MB,\s\up10(→))＝0，则k＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2 答案　D 解析　由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝eq \f(4?k2＋2?,k2)，x1x2＝4.① 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y1＝k?x1－2?，,y2＝k?x2－2?))? eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝k?x1＋x2?－4k，,y1y2＝k2[x1x2－2?x1＋x2?＋4].))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(②,③)) ∵eq \o(MA,\s\up10(→))·eq \o(MB,\s\up10(→))＝0， ∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0. ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0， 即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④ 由①②③④式，解得k＝2.故选D. 4.(2015·河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|