2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练93.doc

题组层级快练(九十三) 1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　) A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11 B．a2＋eq \f(1,a2)≥a＋eq \f(1,a) C．|a－b|＋eq \f(1,a－b)≥2 D.eq \r(a＋3)－eq \r(a＋1)<eq \r(a＋2)－eq \r(a) 答案　C 解析　(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0， 故A恒成立； 在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立； 对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a<b时，不恒成立； 由不等式eq \f(2,\r(a＋3)＋\r(a＋1))<eq \f(2,\r(a＋2)＋\r(a))恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C. 2．a2＋b2与2a＋2b－2的大小关系是(　　) A．a2＋b2>2a＋2b－2　 B．a2＋b2<2a＋2b－2 C．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．a2＋b2≥2a＋2b－2 答案　D 解析　∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0， ∴a2＋b2≥2a＋2b－2. 3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________． 答案　2 解析　(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝m＝eq \r(2)时等号成立)． 4．(2015·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________． 答案　eq \f(3\r(3,2),2) 解析　由logxy＝－2，得y＝eq \f(1,x2). 而x＋y＝x＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x,2)＋eq \f(x,2)＋eq \f(1,x2)≥3eq \r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(1,x2))＝3eq \r(3,\f(1,4))＝eq \f(3\r(3,2),2)，当且仅当eq \f(x,2)＝eq \f(1,x2)即x＝eq \r(3,2)时取等号．所以x＋y的最小值为eq \f(3\r(3,2),2). 5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)的最大值为________． 答案　eq \r(3) 解析　方法一：(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))2＝a＋b＋c＋2eq \r(ab)＋2eq \r(bc)＋2eq \r(ca)≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3. 当且仅当a＝b＝c时取等号成立． 方法二：柯西不等式：(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))2＝(1×eq \r(a)＋1×eq \r(b)＋1×eq \r(c))2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. 6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________． 答案　12 解析　由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12. 7．(2015·江苏南通)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求证：(eq \f(ax＋by,x＋y))2≤eq \f(a2x＋b2y,x＋y). 证明　因为x>0，y>0，所以x＋y>0. 所以要证(eq \f(ax＋by,x＋y))2≤eq \f(a2x＋b2y,x＋y)， 即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)， 即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故(eq \f(ax＋by,x＋y))2≤eq \f(a2x＋b2y,x＋y). 8．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 证明　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3eq \r(3,xy2)>0,1＋x2＋y≥3eq \r(3,x2y)>0.故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3eq \