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利用导数求最值
导数是研究数学和其他自然科学的基础,是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具,研究导数,有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支,在函数的研究中得到充分的体现,主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述,供参考。
一、函数的最大值与最小值
在闭区间[]上连续,在()内可导,在[]上求最大值与最小值的步骤:先求 在()内的极值;再将的各极值与、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
求可导函数极值的步骤:
首先:求导数;再求导数=0的根;最后:检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取极大值;如果左负右正,那么在这个根处取极小值。
二、利用导数求最值
例1、设,求的最小值。
解:设,则
令,由,解得。列表:
(0,1)1-0+↘最小值↗由表可知,当时,有最小值1。
评注:利用导数求最值,先确定函数的极值是关键,同时,最值通常应在极值及端点处取得。当函数f(x)为连续函数且在上单调时,其最大值、最小值在端点处取得;当连续函数f(x)在(a,b)内只有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以判定f(x)在该点处取得最大(小)值,这里(a,b)也可以是无穷区间。
练习1:已知a ≥ 0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,当x为何值时,f(x)取得最小值?并证明你的结论;
三、利用导数求最值的运用
(一)求函数的值域
例2 、求函数的值域.
解:由得的定义域为。
因为,所以在上单调递增,故当时,时,。所以值域为。
评注:求函数的值域转化为求在闭区间上的最大值和最小值的问题,考虑其单调性易求值域,必须注意函数的定义域。
练习2:已知x,y为正实数,且满足关系式,求xy的最大值。
(二)利用最值求参数的值(或范围)
例3、设,函数的最大值为1,最小值为,求a,b的值。
解:,当x变化时,变化情况列表如下:
x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1+0-0+b当x=0时,f(x)取极大值b,而,,故需比较f(0)与f(1)的大小。
∵,∴f(x)最大值为f(0)=b=1。
又。
∴,∴,∴。
评注:这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小,列表解题一目了然,从而确定出a,b的值。
(三)利用最值研究恒成立问题
例4、设函数若对于任意都有成立,求实数的取值范围。
解: 令得或。
∵当或时,∴在和上为增函数,
在上为减函数,∴在处有极大值,在处有极小值。
极大值为, 而, ∴在上的最大值为7。
若对于任意x都有成立, 得m的范围 。
评注:利用最值可以研究一类恒成立问题,一般地,f(x)≥a对x∈R恒成立 f(x)的最小值≥a成立;f(x)≤a对x∈R恒成立f(x)的最大值≤a成立。
练习2:已知函数在与x=1时都取得极值。⑴求a、b的值;⑵若对恒成立,求c的取值范围。
四、利用最值证明不等式
例5、已知是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2。(1)求 f(x)的单调区间和极大值;(2)对任意,求证:不等式恒成立。
解:(1)∵f(x)是奇函数,, ∴f(0)=0, ∴d=0
因此
由条件f(1)=-2为f(x)的极值,∴f,(1)=0,
∴,解之得:a=1,c=-3
则, 令,得
∴f(x)的单调减区间是[-1,1],f(x)的单调增区间是
当x=-1时,f(x)有极大值2。
(2)证明:由(1)知f(x)在[-1,1]上是减函数,且f(x)在[-1,1]上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2
∴对任意, 恒有
评注:本题(2)借助于最值证明不等式,最值的研究利用了导数法,同时对于可导函数,某点为极值点的必要条件是这点的导数为0;某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外,函数的极值点也可能是不可导点。
附练习答案:
1、解:(1)对函数f(x)求导数,得f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex。令f′(x)=0,得[x2+2(1-a)x-2a]ex=0,
从而x2+2(1-a)x-2a=0。解得
,其中x1<x2。
当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表:
x(-∞ ,x1 )x1( x1 , x2)x2(x2 ,+∞)f ′(x)+0—0+f (x)极大值极小值当f(x)在x=x1处取到极大值,在x=x2处取到极小值.
当a≥0时,x1<-1,x2 ≥0,f(x)在(x1,x2)为减函数,在(x2,+∞)为增函数.
而当x<
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