黑龙江省绥化市第九中学中考数学题型专题复习 任意角的三角函数典型例题 新人教版.doc

任意角的三角函数典型例题 例1? 已知角α的终边上一点P(-15α，8α)(α∈R，且α≠0)，求α的各三角函数值． 分析? 根据三角函数定义来解 A．1??????????????????????????????? B．0 C．2??????????????????????????????? D．-2 例3? 若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定α所在的象限． 分析? 用不等式表示出α，进而求解． 解? ∵sin2α＞0，∴2α在第一或第二象限，即2kπ＜2α＜2kπ+π，k∈Z) 当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，有 当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)有 ∴α为第一或第三象限的角 又由cosα＜0可知α在第二或第四象限． 综上所述,α在第三象限． 义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z} ∴函数y=tgx+ctgx的定义域是 说明? 本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域． 例5? 计算 (1)a2sin(-1350°)+b2tg405°-(a-b)2ctg765°-2abcos(-1080°) 分析? 利用公式1，将任意角的三角函数化为0～2π间(或0°～360°间)的三角函数，进而求值． 解? (1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tg(360°+45°)-(a-b)2ctg(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°) =a2sin90°+b2tg45°-(a-b)2ctg45°-2abcos0° =a2+b2-(a-b)2-2ab =0 （2） 例1　 下列说法中，正确的是 [ ] A．第一象限的角是锐角 B．锐角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．0°到90°的角是第一象限的角 【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键． 【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)． (90°－α)分别是第几象限角？ 【分析】　 由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的 【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 的角． (2)因为　 180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角． (3)解法一：因为 90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以　 －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)． 故　 －90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)． 因此90°－α是第四象限的角． 解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限． 将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内． 【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的． 例3　 已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间 [ ] 【分析】　 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易． 【解法一】　 由正、余弦函数的性质， 【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当 应选(A)． 可排除(C)，(D)，得(A)． 【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习． 例 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值； 【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是 三两个象限，因此必须分两种情况讨论． 【解】(1)因为x＝3k，y=