K(7,3)的若干性质.doc

浙江师范大学学生课外科技活动 第十一期课题（论文） 目录 摘要 1 1 引言 1 2 的若干性质 2 2.1 阶数 2 2.2 正则度 3 2.3 边数 3 2.4 围长 3 2.5 周长 5 2.6 拟泛圈性 6 2.7 直径 8 2.8 是-图 10 2.9 是-图 10 2.10 Hamilton圈分解 10 2.11 边染色 13 2.12 边独立数、边覆盖数、独立数、覆盖数 13 2.13 点染色 15 2.14 是Euler图 15 2.15 不是可平面图 16 3 的若干性质 17 3.1 阶数 17 3.2 正则度 17 3.3 边数 17 3.4 围长 17 3.5 直径 19 3.6 是-图，-图 19 3.7 可遍历性 19 4 结束语 19 对Kneser图的性质的研究与探索 ——对的若干性质研究 杨巧珍 初阳学院 数学与应用数学 综合理科071 指导老师：王应前（教授） 【摘要】 Kneser图是图论中一类十分重要的图,这是因为许多关于集合的计数以及计算问题可以转换为此类图中的问题加以探讨. 令人着迷的Petersen图就是Kneser图. 虽然,已有若干文献对Kneser图的一系列性质: 如连通性、Hamilton问题、染色问题进行了研究,但远远不够完整.为了提示更多更深刻的性质,对阶数较小的Kneser图进行系统的研究.本文对Kneser图家族中的第三平凡的图即展开系统研究,确定了的一系列重要参数,进而又对一般的图的一些简单性质进行整理研究这一工作将有助于揭示较大的更一般的Kneser图的深刻性质. ；图；直径；周长；连通性；色数；染色；泛圈性；Hamilton圈图论起源很早，远在十八世纪就出现了图论问题，如著名的哥尼斯堡七桥问题就是当时很有名的图论问题。而随着理论与科技的发展，目前图论在物理、化学、运筹学、计算机科学、控制论、网络理论等许多学科领域都有应用。研究并掌握各种图类的性质与规律，是图论学科的基础。 Kneser图是图论中一类重要的图类, 这是因为许多关于集合的计数以及计算问题可以转换为此类图中的问题加以探讨。一般地，令为的所有元子集所形成的集合, ,则称为Kneser图. 对其各种性质和规律的研究，具有一定的重要意义. 在本文中,把作为研究对象, 进一步研究的一类Kneser图的若干性质. 显然, 当时, 为一个3-圈.当时,人们研究发现, 即为Petersen图,它是一个特别有趣的图. Petersen图是以丹麦著名数学家Peter Christian Julius Petersen的名字命名的.它的首次出现是在1886年Alfred Bray Kempe的一篇论文中,Petersen图被Petersen作为反例引出,从而奠定了该图在图论中的地位和基础. 当时，的顶点数、边数会越来越多, 不容易研究. 因此，本文主要先对的情况进行研究，即对进行研究. 在对进行较充分的研究后，会对的一些简单性质进行整理研究. 由Kneser图的定义可知，令为的所有元子集所形成的集合, , 则称此Kneser图为. 据的定义, 同时参考即Petersen图的画法, 可画出如下图. 图1-1 的若干性质 阶数 由的定义可知, 的顶点数为的所有-元子集的个数.而的所有-元子集的个数为,故的顶点数为35个, 即的阶数为35.易见Kneser图是正则图, 特别也是正则图. 由的定义, 与中任一顶点相邻的顶点所对应的集合与对应的集合相交为空集. 因此, 任一顶点的度数为.由前面结论, 的阶数为35, 且是4正则的, 因此的边数为.图中最短圈的长度叫做的围长, 记作.在图中可以找到一个6-圈, 即有一个:. 性质1：的围长为6. 证:由于简单图中最小的圈就是，如果能证明中无,,-圈，即证明了的围长为6. 令 先证图中不含-圈(如图-1). 则有. 设,, 根据的定义，则有 图中含有-圈，即有图中结构， 即有,,以及 显然这与相矛盾！ 故图中不含-圈. 下证图中不含-圈. 假设图中含有-圈(如图-2). 则有,并且 而(若不然就产生了-圈). 根据的定义, 有. 由上述的分析，可得且，且 以及和. 或，或. 若, 且 , 矛盾！ 若, 且 又且， , 矛盾！ 故假设不成立，即图中不含-圈. 下证图中不含-圈. 假设图中含有-圈(如图-3).则有 ,. 并且此-圈中除上述条边外无其它边(若不然就会产生了 或-圈). 根据的定义, 有 显然有，否则之间无公共的相邻的顶点. 同理有. 又有 这显然与矛盾！ 故假设不成立，即图中不含-圈. 综合①②③，可以得到中不含,,-圈, 因此，中最小的圈为, 即的围长就是6，也即.图中最长圈的长度叫做的周长, 记作.显然在中能找到一个, 如图所示.