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第四章 平面问题的极坐标解答;第四章 平面问题的极坐标解答;区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有 固定的方向, x 和y 的量纲均为L。 极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向; ; 坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引 起弹性力学基本方程的区别。;§4－1 极坐标中的平衡微分方程;江花册贴琵梅刑镍蝗毒厘炔僚沤衬磁疑驴舞曲痰掠拓缄抓琼夷贺莫舌等野弹性力学讲义芝纶版)弹性力学讲义芝纶版);两 面不平行，夹角为 ； 两 面面积不等，分别为 ， 。 从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。 ;平衡条件：;--通过形心C的 向合力为0，;同理，由 通过形心C的 向合力为0可得：; 几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。;注意：;对平面问题：;几何方程; 极坐标中的物理方程; 平面应力问题的物理方程：; 边界条件--应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：;平面应力问题在极坐标下的基本方程;物理方程; 以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：;函数的变换：将式 或 代入，;或;将对 的导数，变换为对 的导数： ;而; 展开即得：;拉普拉斯算子的变换：由式（f）得;3.极坐标中应力用应力函数 表示;(2) 应用特殊关系式，即当x轴转动到与 轴重合时，有:;(4) 应用应力变换公式（下节），;当不计体力时应力用应力函数表示的公式;4.极坐标系中按应力函数 求解，应满足：; 应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。;;得; 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，; 应用相似的方法，可得到;3、可以用前面得到的求一点应力状态的公式推出。 ; 轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。;展开并两边同乘 得： ;的通解; 此方程解的形式为 代入整理得特征方程为; (2) 应力通解：; 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，;分开变量，两边均应等于同一常量F,;由两个常微分方程，;其中;说明;(4) 轴对称???力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。; 圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。 ;问题;边界条件是; 考察多连体中的位移单值条件： ;是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此 ;由B=0 和边界条件 (b) ，便可得出拉梅解答，;解答的应用：; 单值条件的说明：; 按应力求解时：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。;§4－7 压力隧洞; 因为不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：;应考虑的条件：;由（1）—（4）条件，解出解答（书中式（4 -16））。;2.一般的接触问题。; (2) 有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为 ; (4) 局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有 ; 在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。;3. 有限值条件; 引用轴对称问题的解答，并考虑边界  上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有A=B=0。 ; 在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进