高等数学课后习题答案第六章分析.docx

习题621求图621中各画斜线部分的面积 (1)解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[01] 所求的面积为. (2) 解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[01] 所求的面积为解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1e] 所求的面积为 (3) 解画斜线部分在x轴上的投影区间为[31] 所求的面积为 (4) 解画斜线部分在x轴上的投影区间为[13] 所求的面积为 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1)与x2y28(两部分都要计算) 解 (2)与直线yx及x2解所求的面积为 (3) yexyex与直线x1解所求的面积为 (4)y=ln x,y轴与直线y=ln a, y=ln b (ba0).解 所求的面积为3求抛物线yx24x3及其在点(03)和(30)处的切线所围成的图形的面积 解y2 x4过点(0, 3)处的切线的斜率为4切线方程为y4(x3)过点(3, 0)处的切线的斜率为2切线方程为y2x6 两切线的交点为所求的面积为 4求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积 解 2yy2p在点处 法线的斜率k1法线的方程为 即求得法线与抛物线的两个交点为和法线与抛物线所围成的图形的面积为5求由下列各曲线?所围成的图形的面积?(1)2acos? 解 所求的面积为a2(2)xacos3t, yasin3t; 解 所求的面积为(3)=2a(2+cos) 解 所求的面积为6求由摆线xa(tsin t)ya(1cos t)的一拱(0t2)与横轴?所围成的图形的面积 解所求的面积为 7求对数螺线ae()及射线所围成的图形面积 解 所求的面积为8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积(1)3cos 及1cos 解曲线3cos 与1cos?交点的极坐标为由对称性所求的面积为(2)及 解 曲线与的交点M的极坐标为M 所求的面积为9求位于曲线y=ex下方??该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积解 设直线ykx与曲线yex相切于A(x0y0)点 则有求得x01y0eke所求面积为10求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值解 设弦的倾角为由图可以看出抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为显然当时A10当时A10因此抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为11把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积解 所得旋转体的体积为12 由yx3x2y0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的体积 解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为 绕y轴旋转所得旋转体的体积为13 把星形线所围成的图形 绕x轴旋转 计算所得旋转体的体积解 由对称性 所求旋转体的体积为14 用积分方法证明图中球缺的体积为证明 15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积(1) 绕y轴解 (2)x0xay0 绕x轴 解 (3) 绕x轴解 (4)摆线xa(tsin t)ya(1cos t)的一拱y0 绕直线y2a 解 16 求圆盘绕xb(ba0)旋转所成旋转体的体积 解 17 设有一截锥体 其高为h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B 求这截锥体的体积 解 建立坐标系如图 过y轴上y点作垂直于y轴的平面 则平面与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴分别为截面的面积为于是截锥体的体积为 18 计算底面是半径为R的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积 解设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x) 由已知条件知 它是边长为的等边三角形的面积 其值为所以 19 证明由平面图形0axb0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 证明 如图 在x处取一宽为dx的小曲边梯形 小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2xf(x)dx 这就是体积元素 即 dV2xf(x)dx于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为20 利用题19和结论 计算曲线ysin x(0x)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积解 21 计算曲线yln x上相应于的一段弧的长度 解令 即 则22 计算曲线上相应于1x3的一段弧的长度 解 所求弧长为23 计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度 解由得两曲线的交点的坐标为所求弧长为 因为所以24 计算抛物线y22px从顶点到这曲线上的一点M(xy)的弧长 解25 计算星形线的全长解用参数方程的弧长公式2