数学物理方程-第3章-2013.ppt

数学物理方程 西北工业大学 2013年3月 许和勇 第三章 调和方程 物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象 §3-1 方程的建立及其定解条件 调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为 这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即 这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。 (1.1) (1.2) (1.2) (1.1) (1.2) 1.方程的导出 数学史上导致调和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于(x0，y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力,其大小等于GM/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中r为两点之间的距离。写为向量形式，即为 除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。 F(x,y,z)称为引力场函数 显然引力场函数是位势函数φ的梯度 对于以密度ρ(x,y,z)分布在区域Ω上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为 (1.3) 通过直接计算可以验证，φ(x,y,z)在Ω外满足调和方程 还可以进一步验证，若ρ(x,y,z)满足Holder条件，则φ(x,y,z)在Ω内满足泊松方程 其中E为电场强度矢量，而n为Σ上的单位外法线向量。 divE = 4πρ 另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为ρ(x,y,z)的静电场，在此电场内任取一个封闭曲面Σ包围的区域G ，由静电学知，通过Σ向外的电通量等于G中总电量的4π倍，即成立 (1.4) 并注意到G的任意性，可得 利用格林公式 调和函数定义：我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。 又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势u=u(x,y,z) ，使 于是得到静电位势u满足以下的泊松方程 Δu＝－4πρ 特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。 2.定解条件和定解问题 要在空间的某个区域中确定方程(1.1)和(1.2)的解，还必须附加一些定解条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。 与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程(1.1)和(1.2)也可以提出三种类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题。 (1.1) (1.2) (1.5) (1.6) 1)第一边值问题(狄利克雷条件)： 2)第二边值问题(诺依曼条件)： 习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某光滑的闭曲面Г的内部寻找满足边界条件的调和函数。 但在实际运用中，常常会遇到一些无界区域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳定温度场。这种情况下，需要在闭曲面Г的外部寻找满足边界条件的调和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。 流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界Г上有 法向无穿透条件 内流问题的求解在边界Г 内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界Г 外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。 从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件(速度大小和迎角等)。 （这个问题课本上也有举例） 因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即 泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换u=v+u1把原方程转化为关于v的调和方程。 (1.7) §3-2 格林公式及其应用 1.格林（Green）公式 高等数学中的高斯公式如下 在上式中，令 ，于是有 得到格林第一公式： (2.1) 如果作 代换，那么格林第一公式写为： 把(2.1)和(2.2)相减，我们得到格林第二公式 利用上述公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。首先我们导出调和函数的积分表达式