矩阵的相似变换与特征值_几何与线性代数.ppt

* ?返回主界面 第五章 矩阵的相似变换和特征值 线性代数与空间解析几何电子教案网络版 说明: 由于PowerPoint软件版本差异, 在您 的电脑上浏览本电子课件可能有些 内容出现会出现异常. ——课件作者：张小向 §5.1 方阵的特征值和特征向量 §5.2 相似矩阵 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 一. 特征值, 特征向量的定义和计算 1. 设A是n阶方阵, ?为数, ?为n维非零向量. 若A? = ??, 则称?为A的特征值, 称?为A 的对应于?的特征向量. 2. 由A? =??得齐次线性方程组(?I–A)? =?, 它有非零解?系数行列式|?I–A|=0, 这个 关于?的一元n次方程, 称为A的特征方程, |?I–A|称为A的特征多项式. ? 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 例1. 求 的特征值和特征向量. 解: 所以A的特征值为?1=2, ?2=4. 解之得 A的对应于?1=2的特征向量为 对于?1=2, (2I–A)x = ? 即 ? 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 解之得 A的对应于?2=4的特征向量为 对于?2=4, (4I–A)x = ? 即 例1. 求 的特征值和特征向量. 解: 所以A的特征值为?1=2, ?2=4. ? ? 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 解: |?I–A| = (?–2)(?–1)2. 所以A的特征值为?1=2, ?2= ?3= 1. 对于?1=2, 求得(2I–A)x = ? 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于?1=2的特征向量为kp1 (0?k?R). 对于?2=?3=1, 求得(I–A)x = ? 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T. 对应于?2=?3 =1的特征向量为kp2 (0?k?R). 例2. 求 的特征值和特征向量. ? ? 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 解: |?I–A| = (?+1)(? –2)2. 所以A的特征值为?1= –1, ?2= ?3= 2. (–I–A)x = ?的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于?1= –1的特征向量为kp1 (0?k?R). (2I–A)x = ?的基础解系: p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于?2=?3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零). 例3. 求 的特征值和特征向量. ? ? 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 例4. 设?为方阵A的特征值, 证明?2为A2的特征值. 证明: 因为?为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = ?x, 于是(A2)x = A(Ax) = A(?x) = ?(Ax) = ?2x, 所以?2为A2的特征值. 例5. 设?为方阵A的特征值, 证明?(?) = 2?2 –3? +4. 为?(A) = 2A2 –3A +4I的特征值. 证明: 因为?为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = ?x, 于是?(A)x = (2A2 –3A +4I)x = 2(A2)x–3Ax +4x = 2?2x–3?x +4x = (2?2 –3? +4)x = ?(?)x, 所以f(?)为f(A)的特征值. ? 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 二. 特征值, 特征向量的性质 定理5.1. 设?1, …, ?n(实数或复数, 可以重复) 是n阶方阵A=[aij]的n个特征值, 即 |?I–A| = (?–?1) (?–?2)…(?–?n). 则 ? ?i =