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第5讲 平 面 向 量 【2016年高考考点定位】 高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题. 【考点1】向量的概念 【备考知识梳理】 1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小. 2.零向量：模为0的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+=. 3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与方向相同的单位向量为. 4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=. 5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(- )= . 【规律方法技巧】 1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系. (2)单位向量的长度与方向. 2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小. 【考点针对训练】 1. (广东省广州市2015届高三1月模拟).设向量，, 若方向相反, 则实数的值是____________． 2. (广东省广州市2015届高中毕业班综合测试数学（文）试题（一）2).已知向量，若，则实数的值为________________． 【考点2】向量的线性运算 【备考知识梳理】 1.向量加法: ①平行四边形法则：平移，使其由公共的起点，以、为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的对角线对应的向量就是与的和向量. ②三角形法则：要注意“首尾相连” ③两个向量的和向量仍为向量 ④当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合. 2．向量减法应注意： ①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量； ②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”. 3.向量数乘运算 ①实数与的积仍是向量，||=，当＞0时，与方向相同，当＜0时，与方向相反，当=0时，=. ②向量数乘的特殊情况：=充要条件是=或=0. ③实数与向量可以求积，但可以求和、差. ④熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积的运算律. 4.平面向量基本定理[来源:Z.xx.k.Com] ①平面向量基本定理：若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使. ②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础. 5.平面向量的基本运算 ①若=（，），=（，），则±=（±，±）， =（，）， ②若A（，），B（，），则=（-，-）. 【规律方法技巧】 在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解. 当是线段AB的中点时，则=是中点公式的向量形式，应当做公式记忆. 当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 【考点针对训练】 1. 【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线，P为垂线上任一点，则等于________. 2. 【015届辽宁省师大附中高三模拟考试】若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角______． 【考点3】平面向量共线问题 【备考知识梳理】 共线向量的概念 若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 向量共线的充要条件 共线向量定理：∥（≠）存在唯一实数，使得=. 若=（，），=（，），则∥-=0. 【规律方法技巧】[来源:Z_xx_k.Com] 向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用. 对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 若A、B、C三点共线且，则=1. 【考点针对训练】 1. 【2015届北京市西城区高三二模】已知平面向量，，，，，，若，则实数___________． 2. 【2015届福建省泉州一中高三下学期最后一次模拟】设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（