推理2.2 尽情联想 尽力引申 推广最短线.docVIP

2.2 尽情联想 拓宽思路 推广最短线 做一道数学题决不能满足于解答出来，还要进一步联想，多角度地去思考、数学联想基础猜想推理学习进步，发明外的两点，在上求一点P，使PA+PB为最短. 解：若A、B在两侧，连结A、B，线段AB与直线的交点即所求的P，这是很容易证明的. 若A、B在同侧，利用对称性，作出A点关于的对称点A′，就转化为A′、B在两侧，问题的解显而易见. 这个问题经常改换成应用题出现，例如： 例2 运河两岸有两个村庄，现在运河上造座桥，桥面垂直河岸，问桥造在何处，才能使这两村之间的路程最近？ 例3 江边同侧有两个工厂，现在江边造一个抽水站，把江水送到两厂去，这个抽水站设在何处，才能使所需铺设的输水管最短？ 这些问题与例1类似，被称为“最短路线问题”，所求的P点叫最佳点. 然而问题并不这样简单. 实际问题比抽象成的数学模型还可能要复杂一点. 例如，例2中运河相当宽（如图）因为桥垂直于河岸，所以路必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的路，就可以解决．解：如图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程的架桥地点．即两村的路AE＋ED＋DB．的距离分别为2km、5km，抽水站设在何处呢？ 注意这个问题没有要求两个工厂都要直接从江边取水，并不是要求PA+PB最短. 如果按照例1的方法求解，不难用勾股定理求得输水管的总长为PA+PB=BA′=2km（如图）. 而直接在A厂到江边取水，并经过A厂把输水管连到B厂，输水管的总长为PA+AB=10km，显然宁可选择后者. 但是，如果B厂到的距离为4km呢？你可以计算一下，结果不同了，应该选择前者. 问题还要进一步推广. 一方面，作为两点或直线这些几何元素本身可以延拓. 例如，例1中两点一直线不在同一平面上该怎样求解？如果两点为空间两点，而将直线改为平面又该怎样求解？在曲面上的最短线问题又该怎样求解？如此等等. 另一方面，例3中两个工厂不在江边，而在湖边又该怎么求解？还有两个工厂用水量不等，输水成本与用水多少有关，又该怎样设置抽水站呢？诸如此类，也提供给我们一连串的问题，在学习过程中都值得联想、深思. 下面我们就一些简单情形加以讨论. 二． 空间的最短路线问题 如果例1中，两点一直线不在同一平面上该怎样求解？ 例4 已知A、B为空间直线外的两点，试在上找一点P，使PA+PB最短. 解：由于例1的成功解决，我们自然会这样联想，能否把这两点与直线转化到一个平面上来. 过A、与B、分别作以为边界的半平面、并将半平面绕旋转到，使与合为一个平面. 这时A点旋转到了A′. A′、B与在同一平面上，且A′、B在的两侧. 于是A′B与的交点即所求的P（如图）. 事实上，由于旋转之故，显然有PA=PA′. 如果把题4中直线拓展为平面，问题就变为： 例5 已知为一平面，A、B为空间两点，试在上找一点P，使PA+PB最短. 解：联想例4的解法，想办法把平面退回直线，转化为例1. 过A、B作平面的垂线AA′、BB′，垂足为A′、B′，过AA′、 BB′作平面，显然垂直于平面，且与交线为. A、B、在同一平面内，可仿题1，在上找一点P，使P在上，且PA+PB最短，这点P就是本题所要求的. 从平面向空间推广的更一般形式是：设L、M、N表示空间直线或平面，在L上找一点P，使P到M、N的距离和最短. 这一推广，问题就复杂多了，只有在某些特殊情况下问题才易于解决，例如当L、M、N表示三条空间直线、、时，仅当、、共面或者两两共面时才可以用初等几何方法求出解来. 三．曲面上的最短路线问题 把平面上的最短路线问题推广到曲面上，也会有一些新的结果. 不过一般说来，曲面上两点之间的最短路线不再是直线段，而是曲线，称为测地线. 在中学里研究的曲面有柱面、锥面和球面. 而在柱面、锥面上讨论最短线问题并不很困难. 因为对于柱面、锥面只要沿其一母线剪开，就可以将它铺开来. 这样，柱面、锥面上的最短线问题就可以转化为平面上的最短路线问题了. 这种可以铺在平面上的曲面叫做可展曲面，圆柱面、圆锥面以及随风飘扬的旗帜所变成的各种各样的曲面都是可展曲面. 显然，在可展曲面上连结两点之间的测地线必定是曲面展开成平面后的直线段. 例6 已知为锥面上的一条母线，A、B为锥面上任意两点，试在上找一点P，使锥面上的曲线PA+PB最短. 解：将锥面沿一母线剪开，使、A、B都在这母线的同侧，铺成平面后得到、A、B在平面上的象、A′、B′(如图).