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§3.4.1 基本不等式 阿左旗高级中学 杨灵媛 【课标要求】 1、探索并了解基本不等式的证明过程； 2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 【教学目标】 1、通过观察背景图形，抽象出基本不等式； 2、了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景； 3、能应用基本不等式求简单的最值问题； 4、体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力。 【教学重难点】 重点：从各角度探索并了解基本不等式的证明过程及简单应用 难点：用基本不等式求简单的最值问题 【教学设计】 【教学过程】 引言：之前，咱们了解了不等关系与不等式，掌握了不等式的性质，能解决一些简单的线性规划问题，今天，咱们继续来学习有关不等式的内容。 环节一：情境引入 给出图片，让大家观察：这会标中含有怎样的几何图形？ 【学生回答】：正方形和直角三角形 明确目标，提出问题 环节二：重要不等式的探究 【教师活动】：在几何图形中，回答以下问题 1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的面积和S1 =＿＿ ３、S与S1有什么样的不等关系？ 【学生活动】：学生思考后依次回答上述三个问题 【教师活动】：它们有相等的情况吗？ 【学生活动】：可以相等，是在a=b时，等号成立 【教师总结】：此时咱们得到： （当且仅当a=b时，等号成立），这是我们今天学习的第一个内容，把它叫做重要不等式。 自主学习，解决问题 【教师活动】：在这里由于a，b表示边长都为正数，那么这个不等式能不能扩展到全体实数范围内呢？ 你能给出不等式的证明吗？ 【学生活动】：学生思考后，得出证明过程。（比较法） 【教师总结】：的适用范围是R，若用文字语言来叙述： 两数的平方和不小于它们积的2倍 环节三：基本不等式的代数探究 【教师活动】： 【学生活动】： 【教师活动】你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 【设计意图】：让学生自己填写证明过程，教师加以完善总结，让学生初步了解分析法。 【教师总结】这就是咱们今天学习的重点和难点：基本不等式 （指出算术平均数与几何平均数） 文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（引导学生从数列的角度加以分析） 合作学习，探究问题 环节四：基本不等式的几何探究 【教师活动】 引导提升，得出结论 【学生活动】： 【教师总结】：从几何的角度去理解基本不等式将更加直观，数形结合思想的重要性（数学思想方法） 此时，引导学生得出两个变式： （1）（积定和最小） （2）（和定积最大） 环节五：知识应用（纠错） 【教师活动】例1 (1)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 例1 (2)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 【学生活动】：学生应用所学知识解答例题，同时进行展示讲解 【教师总结】：应用基本不等式的前提：一正，二定，三相等 环节六：课堂小结 知识点：1、重要不等式 2、基本不等式 思想与方法：数形结合思想 环节七：布置作业 作业：课本P100 习题3.4 A组 第2、3题 板书设计 §3.4.1 基本不等式 重要不等式 形式： 文字描述： 基本不等式 形式： 文字描述： 白板演示区 练习板演区： 此处若学生提出，提问解答即可 研究两数平方和与两数乘积间的关系