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《空间向量在解决立体几何问题中的应用》教学设计
《空间向量在解决立体几何问题中的应用》教学设计
教学目标:
(1)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)。
(2)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何 问题中的应用。
教学重点:
(1)利用空间向量证明空间位置关系及空间角的计算
(2)利用空间向量解决探索性问题
教学难点:
(1)利用空间向量求二面角
(2)利用空间向量解决探索性问题
教学过程:一。利用空间向量证明空间位置关系
考向链接:平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系,也是每年的必考内容,利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路:一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用空间向量来论证。
例1.如图,平面平面,
是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,
,的中点,,.
(I)设是的中点,证明:平面;
(II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.
证明:(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,
则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面
(II)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.,由
(a=,b=)则直线a,b所成的角为arccos.
(二).利用向量法求直线与平面所成的角求法:直线与平面所成角(为平面的法向量).
(三)利用法向量求二面角的平面角:设分别是二面角中平面的法向量,则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.
即二面角的大小或(,为平面,的法向量).
但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
例2如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,,
,且MD=NB=1,E为BC的中点
求异面直线NE与AM所成角的余弦值
在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由
解析:(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标
依题意,得。
,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
(2)假设在线段上存在点,
使得平面.
,
可设
又.
由平面,得即
故,此时.
经检验,当时,平面.
故线段上存在点,使得平面,此时.
例3:如图,在三棱锥中,底面,
点,分别在棱上,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PACPA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,
∴.
∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的大小.
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PACE平面PACDE⊥AE,DE⊥E,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,
故存在点E是直二面角.
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,
设,由已知可得
.
(Ⅰ)∵,
∴,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC,
∴.
∴与平面所成的角的大小
(Ⅲ)同解法1.
【方法技巧】(1) 求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。
(2)线面角的范围是0°~90°,因此直线的方向向 量与平面法向量的夹角的余弦是非负的,要取绝对值。
三.利用空间向量解决探索性问题
考情聚焦:立体几何中已知结论寻求结论成立的条件(或是否存在问题),能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力,是今后考查的重点,也能很好地体现新课标高考的特点。
例4. 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证:
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