二次函数竞赛题型解题策略.doc

二次函数的竞赛题型解题策略 二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一．本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考． 一、二次函数的系数a、b、c及相关代数式的取值问题 抛物线y=ax2+bx+c中二次项系数a描述抛物线的开口，a0向上，a0向下；常数项c描述抛物线与y轴的交点(0，c)，c0时交点处x轴上方，c0时交点处x轴的下方，c=0时时处原点；由对称轴公式x=－知b与a一起来描述抛物线的对称轴；b2－4ac大于0，等于0或小于0，决定抛物线和x轴交点的个数，等等． 上面性质反之亦成立．我们还可以通过考察如x=±1时y的值的情况，来确定a±b+c等的符号问题． 例1　抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4，－11)，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a、b、c中为正数的（ ） A、只有a B、只有b C、只有c D、有a和b 解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x轴于两点，知a0．设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x20知0，所以c0，又对称轴为x=4知－0，故b0．故选(A)． 二、二次函数与整数问题 二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法． 例2　已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，|c|1000，则c= ． 解：由已知f(x)=ax2+bx+c，且f(19)=f(99)=1999，因此可设f(x)=a(x－19)(x－99)+1999， 所以ax2+bx+c=a(x－19)(x－99)+1999 =ax2－(19+99)x+19×99a+1999，故c=1999+1881a． 因为|c|1000，a是整数，a≠0，经检验，只有a=－1满足，此时c=1999－1881=118． 例3 已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值． 解：设A、B的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x1x2，则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根． ∴∴x10，x20 又由题设可知△=b2－4ac0，∴b2 ① ∵|OA|=|x1|1，|OB|=|x2|1，即－1x1，x20， ∴=x1x21，∴ca ② ∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，且当x=－1时y0， ∴a(－1)2+b(－1)+c0，即a+cb． ∵b，a+c都是整数，∴a+c≥b+1 ③ 由①，③得a+c2+1，∴()21，又由②知， 1，+1，即a(+1)2≥(+1)2=4 ∴a≥5，又b2≥24，∴b≥5 取a=5，b=5，c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意． 故a+b+c的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题 求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系． 例4 　如果y=x2－(k－1)x－k－1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 解：由于△=(k－1)2+4(k+1)=(k+1)2+40，所以对于任意实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则： |AB|= 又抛物线的顶点c坐标是()， 因此S△ABC=· 因为k2+2k+5=(k+1)2+4≥4，当k=－1时等于成立， 所以，S△ABC≥，故选A． 四、二次函数的最值问题 定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值． 例5　已知二次函数y=x2－x－2及实数a－2．求： (1)函数在－2x≤a的最小值； (2)函数在a≤x≤a+2的最小值． 解：函数y=x2－x－2的图象如图1所示． (1)若－2a， 当x=a时，y最小值=a2－a－2 若a≥，当x=时，y最小值=－． (2)若－2a且a+2，即－2a－，当x=a+2时，y最小值=