第五章非线性动力学和线性系统分析.doc

第五章 非线性动力学和线性系统分析 W. B. J. ZIMMERMAN Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield, Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom E-mail: w.zimmerman@shef.ac.uk 有限元方法中的线性运算特征系统分析（刚度矩阵）是表征偏微分方程非线性动力学系统瞬态稳定性和非线性问题变量稳态稳定性的一个强有效工具。本章我们将讨论如何分析两个复杂系统——Benard对流和粘性指进非稳定性。后者通过对基本流动增加“空白噪声”初始条件的方法来模拟。线性稳定性理论假设这两种情况下的噪声初始条件都包含了所有频率，所以每个特征值都有最大实部，对应于增长最快的特征模式。这里使用了有限元特征分析方法，证明能够很好的符合线性稳定性理论，且在实际应用中更为常见。 1．简介 建模与模拟 到目前为止，我们已经提到了应用有限元方法的计算建模。模型可以用一个构造良好的数学系统来表达，且通常具有偏微分方程形式的边界条件和初始条件，这些条件也可能是几何约束。该系统理论上具有确定性，也就是说能够确定系统任意时刻、任意精确性的状态。通过模拟可以把握整个系统物理场，包括任意基元随时间的变化情况。所以我们不指望模拟能够在所有细节方面都能够极其精确。模拟主要用来再现复杂系统的细微表现，通常通过对各个子系统施加交互作用规则而得到整个系统的整体配合性能表现。如果系统交互规则不能很好的符合实际物理过程，就需要对整体性能进行实验验证，甚至模拟结果可能只是半经验性的符合。 等价吗？ 根据以上分类方式，计算建模和模拟过程看起来似乎完全不同——模型基于物理场，具有确定性；而模拟则具有随机性和半经验性。但是根据目前对复杂系统的认识，发现两者间的区别较为模糊。例如，Billings等人[1]针对空间－时间系统提出一种数据分析技术，可以在候选类型中确定最好的偏微分方程系统，捕捉到实验系统的非线性动力学特性。该技术找到了一种基于细胞自动机描述的规则，能够与复杂系统保持一致。通过限制偏微分方程项的类型，能够确定偏微分方程交互作用规则的逆映射。所以这样的函数等价作用使得“建模”和“模拟”两个概念变得模糊不清。无庸置疑，这就是Wolfram[2]宣扬的“新的科学类型”；从动力学过程能够得到模拟方案（新科学），而模拟方案等价于从物理定律（旧科学）推导出的（非线性）偏微分方程系统。新科学主要胜在用传统物理定律描述整个过程可能会非常复杂，但是复杂系统的表达式可以通过全局表现的交互作用规则而轻易确定。Stanford大学的Koza[3]等人一直致力于找出通过计算机编程来满足物理场的诀窍。编程是一种使程序与观测资料保持一致，进而建立程序的方法。 跨越的桥梁：非线性动力学 非线性动力学和复杂系统架起了系统建模和随机模拟之间的桥梁。非线性系统的本质特性——混沌系统——对初始条件极其敏感。在某些情况下细微的初始条件差别会导致最终结果的极大偏差。在二十世纪70年代，混沌理论尚未成熟以前，在耗散系统、平衡状态或周期性扰动系统中处理初始条件的最好方法是使用时间渐进吸引子。如果动力学系统对初始条件或不确定性极为敏感，那么这个系统就变得非常复杂。最典型的例子就是流体动力学中的湍流。例如，“在高Reynolds数”情况下，流动的剪切非稳定性导致从毫米尺度的流动到几千米尺度的大气流动都变得非常复杂。即使系统的时间状态理论上可以确定，但是由于初始条件的不确定性，在实际应用中我们也无法辨别。 那么能够用偏微分方程模型描述实际过程中难以表达的复杂系统吗？当然可以。我们可以通过设定动力学稳态模型（传统的湍流模型），或者比较动力学稳态过程来实现。在气象学中，常用后一种方法进行预测，这是定量描述突发性能的一个方法，比对具有不确定性的数据取平均的方法要好。 稳定性和特征分析：时间渐进性能 稳定性概念是非线性系统的关键。对于一个系统，如果扰动δ很小，不会取代系统新的状态，则称u0(t)是稳定的，u(t)为远离初始时刻的状态。什么是“状态”？什么样的扰动算“小”？两个状态“离多远”才具有稳定性？这些都是非常重要的概念。 定义状态u(t)很简单，只需要列出能够唯一确定系统类型的所有自由度。对于有限元方法模型，这意味者给出了解的时间依赖性，通常是稳态或周期性的。作为特例，混沌吸引子也是动力学系统的一个“状态”，但是不是唯一的，因为吸引子是“渐进状态”——很多初始条件经过相当长的时间到达该状态时，已经被“吸收”了。实际上有限元方法模型的“状态”要比偏微分方程系统下的“状态”简单，偏微分方程系统下“状态”本质上是无限维数的。一旦确定了试探函数和有限基元，