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近五年全国高中数学联赛选编数论
近五年全国高中数学联赛选编——数论 2015.8.16
1.(2010年 加试 2) 设k是给定的正整数,.记,.证明:存在正整数m,使得为一个整数.这里,表示不小于实数x的最小整数,例如:,.记表示正整数n所含的2的幂次.则当时,为整数.
下面我们对用数学归纳法.
当时,k为奇数,为偶数,此时
为整数.
假设命题对成立.
对于,设k的二进制表示具有形式
,
这里,或者1,.
于是
, ①
这里.
显然中所含的2的幂次为.故由归纳假设知,经过f的v次迭代得到整数,由①知,是一个整数,这就完成了归纳证明.
,存在一个次多项式
具有如下性质:
(1)均为正整数;
(2)对任意正整数,及任意个互不相同的正整数,均有.
证明:令, ①
将①的右边展开即知是一个首项系数为1的正整数系数的次多项式.
下面证明满足性质(2).
对任意整数,由于,故连续的个整数中必有一个为4的倍数,从而由①知.
因此,对任意个正整数,有
.
但对任意正整数,有,故
,
从而.
所以符合题设要求.
3. (2012年 加试 2)
4. (2013年 加试 2)
5. (2014年 加试 4)
1
第 页 总结 趋势 提高!
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