高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例 导数实际应用中的三类问题素材 新人教A版选修1-1.docVIP

3.4 生活中的优化问题举例 导数实际应用中的三类问题 导数有着广泛的应用,比如: 一.最优化问题 例1. 从一块边长为a的正三角形铁皮的三个角上截去三个同样大小的四边形（如图),然后按虚线把三边折起做成一个无盖的正棱柱形盒子，要截去多大的小四边形方使盒子容积最大？ 分析: 将四边形分解成两个全等的直角三角形，将盒子高作为自变量，体积作为因变量，建立函数关系，运用导数求解． 解: 设盒子的高为x,则盒子的底面边长为(), 得x或x＞. ∴V在x∈(0,)上为增函数，在(,)上为减函数， ∴V在x=处取得最大值，此时小四边形面积. 答：截去三个面积都为的四边形时，盒子的容积最大. 评析: 解空间几何体有关的最值问题，要熟悉相关几何体的形和数的特征． 二.学科间综合问题 例2.如图,已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长． 分析:由抛物线y=4-x2的图象性质可知，矩形是关于y轴对称的，设矩形的长为2x，则宽为4-x2，利用面积公式，运用导数求解． 解: 设矩形的长为2x，则宽为4-x2, 矩形面积S=2x(4-x2）=8x-2x3 (0x2), ∴=8-6x2, 令＞0得- x , ∴S在(0, )上为增函数，在(，2)上为减函数． ∴当x=时，矩形面积最大. 答: 当矩形的长、宽分别为和时矩形面积最大. 评析: 这是与解析几何有关的问题，本题充分利用了抛物线的图形特征和数量特征． 三.方案设计类 例3. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）. （1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1； （2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1. 分析: 本例主要考查利用导数研究函数单调性、求最值等基础知识，解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点.在第(2)问中,有多种设计方案,哪一种容器的容积最大呢?当然,原材料不浪费的情况下,最为优化. 解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x， ∴V1=（4－2x）2·x=4（x3－4x2+4x）（0＜x＜2）. ∴V1′=4（3x2－8x+4）. 令V1′=0，得x1=，x2=2（舍去）. 而V1′=12（x－）（x－2）， 又当x＜时，V1′＞0；当＜x＜2时，V1′＜0， ∴当x=时，V1取最大值. （2）重新设计方案如下： 如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器. 新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1. 故第二种方案符合要求. 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解，对于这类问题，学生往往忽视了数学语言与普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍． 1