第四章 1 数学期望方差 数理统计.ppt

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 第1讲 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性. 但在一些实际问题中, 不需要去全面考虑随机变量的变化情况, 而只需知道随机变量的某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数. 例如, 在评定某一地区的粮食产量的水平时, 在许多场合只要知道该地区的平均产量; 又如在研究水稻品种优劣时, 时常是关心稻穗的平均稻谷粒数; 再如检查一批棉花的质量时, 即需要注意纤维的平均长度, 又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度. 因此, 与随机变量的有关数值, 能够描述随机变量的重要特征. §1 数学期望 一个例子. 一射手进行打靶练习, 规定射入区域e2得2分, 射入区域e1得1分, 脱靶, 即射入区域e0, 得0分. 射手一次射击得分数X是一个随机变量. 设X的分布律为 P{X=k}=pk, k=0,1,2.现在射击N次, N是一个很大的数, 也可能是一百, 也可能是一万, 等等. 其中得0分的有a0次, 得1分的有a1次, 得2分的有a2次,  a0+a1+a2=N.射击这N次得分总和为a0?0+a1?1+a2?2. 于是平均一次射击的得分数为 这里, ak/N是事件{X=k}的频率. 当N很大时, ak/N将近似为事件{X=k}的概率pk. 就是说, 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk, k=1,2,....若级数 绝对收敛, 则称此级数的和为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分 绝对收敛, 则称此积分的值为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即 例1 甲乙二人打靶, 所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布律分别为 试评定他们成绩的好坏. 解 计算X1,X2的数学期望为 E(X1)=0?0+1?0.2+2?0.8=1.8(分) E(X2)=0?0.6+1?0.3+2?0.1=0.5(分) 很明显乙的成绩远不如甲的成绩. 例2 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布, 其概率密度为 若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(以小时计)N的数学期望. 解 Xk(k=1,2)的分布函数为 由第三章§5(5.8)式N=min(X1,X2)的分布函数为 因而N的概率密度为 于是N的数学期望为 例3 按规定, 某车站每天8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立, 其规律为 解 设旅客的候车时间为X(以分计), X的分布律为 在上表中, 例如 候车时间的数学期望为 例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式, 记使用寿命为X(以年计), 规定: X?1, 一台付款1500元; 1<X?2, 一台付款2000元; 2<X?3, 一台付款2500元; X>3, 一台付款3000元.设寿命X服从指数分布, 概率密度为 试求该商店一台收费Y的数学期望. 解 先求出寿命X落在各个时间区间的概率, 一台收费Y的分布律为 例5 在一群体中普查某种疾病, 为此要抽检N个人的血, 可以用两种方法进行. (1)将每个人的血分别去验, 这就需要验N次. 解 各人的血呈阴性反应的概率为q=1-p. 因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为qk及呈阳性反应的概率为1-qk.设以k个人为一组时, 组内每人平均化验次数为X, 则X是一随机变量, 其分布律为 X的数学期望为 N个人平均需化验的次数为 当p固定时, 选取k使得 小于1且取到最小值, 这时就能得到最好的分组方法. 例如, p=0.1, 则q=0.9, 当k=4时, 例6 设X~p(l), 求E(X).解 X的分布律为 X的数学期望为 例7 设X~U(a,b), 求E(X).解 X的概率密度为 X的数学期望为 定理 设Y是随机变量X的函数, Y=g(X)(g是连续函数).(1) X是离散型, 分布律为P{X=xk}=pk, k=1,2,..., (2) X是连续型, 概率密度为f(x). 若 此定理还可推广到两个以上随机变量的函数.例如, 设Z=g(X,Y)(g是连续函数), 若(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则有 这里设上面的积分绝对收敛. 又若(X,Y)为离散型随机变量, P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则有 例8 设风速V在(0,a)上服从均匀分布, 即具有概率密度 又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数, W=kV2(k>0, 常数), 求W的数学期望. 解 由(1.4)式有 例9 设随机变量(X,Y)的概率密度 解 由(1.5)式得 例10