高考数学总复习课件14.2 不等式选讲.ppt

方法二 （比较法） 显然有|ac+bd|≤1-1≤ac+bd≤1, 先证ac+bd≥-1, ∴ac+bd≥-1, 再证ac+bd≤1, ∴ac+bd≤1.综上得|ac+bd|≤1. 方法三 （分析法） 要证|ac+bd|≤1,只需证明（ac+bd）2≤1 即只需证明a2c2+2abcd+b2d2≤1 ① 由于a2+b2=1,c2+d2=1,因此①式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)（c2+d2） ② 将②式展开、化简，得（ad-bc）2≥0 ③ 因为a,b,c,d都是实数，所以③式成立，即①式成立. 原命题得证. 证明不等式要根据不等式的特点选择适 当的方法.一般地，如果能用分析法寻找出证明某 个不等式的途径，那么就能用综合法证明不等式, 同时还能启发我们是否能用比较法证明. 知能迁移4 设a,b为实数，0<n<1,0<m<1,m+n=1, 求证： 证明 方法与技巧 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对 值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组) 进行求解. 含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点 分段法求解，对于形如｜x-a｜+｜x-b｜＞m或 ｜x-a｜+｜x-b｜＜m(m为正常数)，利用实数绝 对值的几何意义求解较简便. 2.含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符 号，也可利用重要不等式|a+b|≤|a|+|b|及推 广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行 放缩. 思想方法 感悟提高 3.应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定 注意等号成立的条件. 失误与防范 1.利用均值不等式必须要找准“对应点”，明 确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的 特征. 2.注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不 等式时，必须使等号同时成立. 一、选择题 1.若ab<0，a,b∈R，则下列不等式正确的是( ) A.|a+b|>|a-b| B.|a-b|<|a|+|b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|-|b|| 解析 方法一 特殊值法 取a=1,b=-2,则满足ab=-2<0， 这样有|a+b|=|1-2|=1,|a-b|=|1-(-2)|=3, |a|+|b|=1+2=3,||a|-|b||=|1-2|=1, ∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立. 方法二 由ab<0得a,b异号， 易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|, |a-b|>||a|-|b||, ∴选项C成立，A、B、D均不成立. C 定时检测 * 14.2 不等式选讲 要点梳理 1.两个实数大小关系的基本事实 a>b a=b a<b a-b>0 a-b=0 a-b<0 基础知识 自主学习 2.不等式的基本性质 (1)对称性：如果a>b,那么 ;如果 ,那么 a>b.即a>b . (2)传递性：如果a>b,b>c,那么 .即a>b,b>c . (3)可加性：如果 ,那么a+c>b+c. (4)可乘性：如果a>b,c>0，那么 ;如果a>b, c<0,那么 . (5)乘方：如果a>b>0，那么an bn(n∈N,n≥2). (6)开方：如果a>b>0，那么 (n∈N,n≥2). b<a b<a b<a a>c a>c a>b ac>bc ac<bc > 3.基本不等式 (1)定理1：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅 当a=b时，等号成立. (2)定理2(基本不等式)：如果a,b>0，那么 ,当且仅当 时，等号成立.也可以表 述为：两个 的算术平均数 它们的几何平均数. (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当 时， 它们的积P取得最 值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当 时， 它们的和S取得最 值. ≥ a=b 正数 x=y 不小于（即大于或 等于） 大 x=y 小 4.三个正数的算术——几何平均不等式 (1)定理3 如果a,b,c∈ ，那么 ，当且仅当 时，等号成立. 即三个正数的算术平均数 它们的几何平均数. (2)基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an