第2课时函数的定义域和值域-成都棠外.docVIP

第2课时 函数的定义域和值域 一、定义域： 1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域： ① 已知函数的解析式，就是 . ② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域： 1．函数y＝f (x)x的值 的集合. 2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y＝，可采用 法；② y＝，可采用 法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c 法；④ y＝x－ 法；⑤ y＝x－，可采用 法；⑥ y＝可采用 法等. 例1. 求下列函数的定义域： （1）y=;(2)y=; (3)y=. 解（1）由题意得化简得 即故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}. （2）由题意可得解得 故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±}. （3）要使函数有意义，必须有 即∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）. 变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx; 解（1）由得所以-3＜x＜2且x≠1. 故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2). （2）由得∴函数的定义域为 （3）由,得 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(); (3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 解（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f(3x)的定义域为［0, ］. （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞). （3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集. 列出不等式组 故y=f的定义域为. （４）由条件得讨论： ①当即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］; ②当即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］. 综上所述：当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］. 变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜）的定义域是 （ ） A. B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］ D.［0，1］ 解B 例3. 求下列函数的值域： （1）y=(2)y=x-; (3)y=. 解（1）方法一 （配方法） ∵y=1-而 ∴0＜∴∴值域为. 方法二 （判别式法） 由y=得(y-1) ∵y=1时,1.又∵R，∴必须=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴∵∴函数的值域为. （2）方法一 （单调性法） 定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y≤ ∴函数的值域为. 方法二 （换元法） 令=t,则t≥0，且x=∴y=-（t+1）2+1≤（t≥0）, ∴y∈（-∞，］. （3）由y=得,ex=∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1. ∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}. 变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=;(2)y=|x|. 解（1）(分离常数法)y=-，∵≠0, ∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}. (2)方法一 (换元法) ∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|, 故函数值域为［0，］.方法二 y=|x|· ∴0≤y≤即函数的值域为. 例4．若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值. 解∵f（x）=(x-1)2+a-. ∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间.∴f（x）min=f（1）=a-=1① f（x）max=f（b）=b2-b+a=b ② 由①②解得 变式训练4：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R). （1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值； （2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域. 解 (1）∵函数的