重积分习题及答案.doc

第九章 重积分 (A) 1．填空题 (1) 设，，定义于，，则 (2) 设曲顶柱体的顶面是，，侧面是母线平行于轴，准线为的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为 。 (3) 在极坐标系中，面积元素为 。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小 (1) 与，其中积分区域由轴，轴以及直线所 围成。 (2) 与，其中积分区域是由圆周所围成。 3．利用二重积分性质，估计积分的值，其中是圆形闭区域。 4．交换积分的积分次序。 5．交换积分的积分次序。 6．交换二次积分的积分次序。 7．计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。 8．计算，其中是顶点分别为，和的三角形区域。 9．计算，其中是顶点分别为，，和的梯形闭区域。 10．计算二重积分，其中区域由曲线与围成。 11．计算二重积分，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。 12．计算，其中是圆环域。 13．计算，：，，。 14．计算二重积分，其中：。 15．计算。 16．求区域的面积。 17．求由，，围成的平面图形的面积。 18．求椭圆抛物面与平面所围成的立体体积。 19．设平面上半径为的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为，求该圆形薄片的质量。 20．由圆，所围成的均匀薄片，面密度为常数，求它关于坐标原点的动惯量。 (B) 1．选择题 设空间区域：，，：，，，，则………………（ ） A． B． C． D． 2．根据二重积分性质，比较下列积分大小： (1) 与，其中是三角形区域，三顶点分别为，，。 (2) 与，其中是矩形闭区域：，。 3．估计积分值，其中是由圆周围成。 4．估计二重积分的值。 5．交换二次积分次序。 6．交换二次积分的次序：。 7．改变积分次序。 8．计算二重积分，其中是由直线，，及双曲线所围成的区域。 9．计算二重积分。 10．计算积分。 11．其中是由所确定的闭区域。 12．，其中是由直线，及所围成的闭区域。 13．计算，其中由抛物线及直线所围成。 14．计算。 15．计算，是由曲线，，所围成的区域。 16．计算。 17．计算，其中为在第一象限的部分。 18．计算。 19．计算。 20．计算 21．计算三重积分，其中由三个坐标面与平面所围成。 22．计算，其中是平面和三个坐标平面所围成的区域。 23．计算积分。 24．计算积分，其中为第一象限中由旋转抛物面与圆柱面所围成的部分。 25．计算，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面，所围的立体。 26．求由下列曲面所界的体积，，，，，。 27．求由圆锥面与旋转抛物面所围立体的体积。 28．求平面被三坐标面所割出部分的面积。 29．求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。 30．一个物体由旋转抛物面及平面所围成，已知其任一点处的体密度与到轴的距离成正比，求其质量。 31．求由圆，所围成的均匀薄片的重心。 32．一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面和平面，，所围成的。 (1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于轴的转动质量。 (C) 1．将下面积分化为重积分，并求的值。 ，其中，为常数。 2．设区域为图中斜线部分，试将二重积分化为两种次序的二次积分。 3．计算三重积分，其中是由曲面与所围成的区域。 4．计算，：。 5．设连续，且，其中是由，，所围区域，求。 6．(1) 计算，其中； (2) 试证。 7．求曲面Σ：上任一点的切平面与曲面：所围立体的体积。 8．设，其中为连续函数，存在，且，，求。 第九章 重积分 (A) 1．填空题 (1) 设，，定义于，，则 > (2) 设曲顶柱体的顶面是，，侧面是母线平行于轴，准线为的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。 (3) 在极坐标系中，面积元素为。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小 (1) 与，其中积分区域由轴，轴以及直线所 围成。 解：在区域内，，两边乘以，得，故由性质得： (2) 与，其中积分区域是由圆周所围成。 解：令两被积函数相等，得或，直线与圆周交点为由图知：位于的半平面内故，因而。 3．利用二重积分性质，估计积分的值，其中是圆形闭区域。 解：因为，故，故 4．交换积分的积分次序。 解：由积分上下限画出积分区域，，故重积分交换积分次序为：。 5．交换积分的积分次序。 解：画出积分区域图，易知。 6．交换二次积分的积分次序。 解：积分的上下限作出积分区域的图形，原式。 7．计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。 解： 。 8．计算，其中是顶点分别为，和的三角形区域。 解：原式 9．计算，其