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《现代控制理论》复习题1
二、(15分)考虑由下式确定的系统: 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型,并画出能控标准型的状态变量图。
解: 能控标准形为
能观测标准形为
对角标准形为
?
三、(10分)在线性控制系统的分析和设计中,系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
求其状态转移矩阵。
解:解法1。
容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是,它们是不相同的,故系统的矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值的特征向量是
取变换矩阵 , 则
因此,
从而,
解法2。拉普拉斯方法
由于
故
解法3。凯莱-哈密尔顿方法
将状态转移矩阵写成
系统矩阵的特征值是-1和-2,故
解以上线性方程组,可得
因此,
四、(15分)已知对象的状态空间模型,是完全能观的,请画出观测器设计的框图,并据此给出观测器方程,观测器设计方法。
解 观测器设计的框图:
观测器方程:
其中:是观测器的维状态,L是一个n×p维的待定观测器增益矩阵。
观测器设计方法:
由于
因此,可以利用极点配置的方法来确定矩阵L,使得具有给定的观测器极点。具体的方法有:直接法、变换法、爱克曼公式。
五、(15分)对于一个连续时间线性定常系统,试叙述Lyapunov稳定性定理,并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。
解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理:
线性时不变系统在平衡点处渐近稳定的充分必要条件是:对任意给定的对称正定矩阵Q,李雅普诺夫矩阵方程有惟一的对称正定解P。
在具体问题分析中,可以选取Q = I。
考虑二阶线性时不变系统:
原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程
其中的未知对称矩阵
将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中,可得
进一步可得联立方程组
从上式解出、和,从而可得矩阵
根据塞尔维斯特方法,可得
故矩阵P是正定的。因此,系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
六、(10分)已知被控系统的传递函数是
试设计一个状态反馈控制律,使得闭环系统的极点为-1 ± j。
解 系统的状态空间模型是
?
将控制器 代入到所考虑系统的状态方程中,得到闭环系统状态方程
该闭环系统的特征方程是
期望的闭环特征方程是
通过
可得
从上式可解出
因此,要设计的极点配置状态反馈控制器是
七、(10分)证明:等价的状态空间模型具有相同的能控性。
证明 对状态空间模型
它的等价状态空间模型具有形式
其中:
T是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式,等价状态空间模型的能控性矩阵是
?
由于矩阵T是非奇异的,故矩阵,和具有相同的秩,从而等价的状态空间模型具有相同的能控性。
八、(15分)在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法,请问这种方法能改善控制系统的哪些性能?对系统性能是否也可能产生不利影响?如何解决?
解: 极点配置可以改善系统的动态性能,如调节时间、峰值时间、振荡幅度。
极点配置也有一些负面的影响,特别的,可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后,其闭环系统产生稳态误差,从而使得系统的稳态性能变差。
改善的方法:针对阶跃输入的系统,通过引进一个积分器来消除跟踪误差,其结构图是
构建增广系统,通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器,从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能,而且避免了稳态误差的出现。
《现代控制理论》二、(20分)已知系统的传递函数为
(1) 采用串联分解方式,给出其状态空间模型,并画出对应的状态变量图;
(2) 采用并联分解方式,给出其状态空间模型,并画出对应的状态变量图。
答:(1)将G(s)写成以下形式:
这相当于两个环节和串连,它们的状态空间模型分别为:
和?
由于,故可得给定传递函数的状态空间实现是:
将其写成矩阵向量的形式,可得:
对应的状态变量图为:
串连分解所得状态空间实现的状态变量图
(2)将G (s)写成以下形式:
它可以看成是两个环节和的并联,每一个环节的状态空间模型分别为:
和
由此可得原传递函数的状态空间实现:
进一步写成状态向量的形式,可得:
对应的状态变量图为:
并连分解所得状态空间实现的状态变量图?三、(20分)试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法,并以一种方法和一个数值例子为例,
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