第13章 递推方程及生成函数.ppt

第十三章 递推方程与生成函数 主要内容 递推方程的定义及实例 递推方程的公式解法 递推方程的其他解法 生成函数及其应用 指数生成函数及其应用 Catalan数与Stirling数 13.1递推方程的定义及实例 定义13.1 设序列 a0, a1, …, an, …, 简记为{ an }. 一个把 an 与 某些个ai (in) 联系起来的等式叫做关于序列 { an } 的递推方 程. 当给定递推方程和适当的初值就唯一确定了序列. 两个排序算法 归并算法 Mergesort (A,p,r) // 对A的下标p到r之间数排序 1. if pr 2. then q??(p+r)/2? //q为p到r的中点， 3. Mergesort(A,p,q) 4. Mergesort(A,q+1,r) 5. Merge(A,p,q,r) // 归并排好序数组A[p..q]与A[q+1..r] 递推方程的实例:算法分析 特征方程、特征根 递推方程的解与特征根的关系 无重根下通解的结构 求解实例 有重根下通解的结构 求解实例 特征方程与特征根 递推方程解与特征根的关系 无重根下通解的结构 实例 有重根下求解中的问题 有重根下的通解结构 常系数线性非齐次递推方程求解 递推方程的标准型 通解结构 特解的求法 多项式函数 指数函数 组合形式 实 例(续) 特解的形式:指数 13.3 递推方程的其他解法 换元法 迭代归纳法 应用实例 换元法 换元法:实例 迭代归纳法：归并排序 迭代归纳法：错位排列 快速排序算法 算法 Quicksort (A,p,r) // p 和 r 分别表示A首和末元素下标 1. if p r 2. then q?Partition(A, p, r) // 划分为A[p..q?1]和A[q+1..r] 3. A[p]?A[q] 4. Quicksort(A,p,q?1) 5. Quicksort(A,q+1,r) 划分过程 算法 Partition(A,p,r) 1. x ? A[p] //选首元素作为划分标准x 2. i ? p?1 3. j ? r+1 4. while true 5. do repeat j ? j ?1 6. until A[ j ] x //A[j]是从后找的第一个比x小元素 7. repeat i ? i +1 8. until A[ i ] x //A[i]是从前找的第一个比x大的元素 9. if i j // 继续搜索A[i]到A[j]之间的范围 10 then A[ i ] ? A[ j ] // A[ i ]与A[ j ]交换，回到行4 11. else return j //结束While循环 实例 平均情况时间复杂度分析 迭代求解 递归树 13.4 生成函数及其应用 牛顿二项式系数与牛顿二项式定理 生成函数的定义 生成函数的应用 牛顿二项式系数 牛顿二项式定理 重要展开式 生成函数定义 由生成函数求序列通项 生成函数的应用 求解递推方程 计数多重集的 r 组合数 不定方程的解 整数拆分 求解递推方程 求解递推方程 求解递推方程 多重集的 r 组合数 实例 不定方程解的个数 推广的不定方程 实例 无序拆分 实例 13.5 指数生成函数及其应用 指数生成函数的定义与实例 指数生成函数的应用 应用：多重集排列计数 实例 实例 13.6 Catalan数与Stirling数 Catalan数 第一类 Stirling数 第二类 Stirling数 Catalan数定义 实例：计数堆栈的输出个数 求解递推方程 第一类Stirling数 第一类Stirling数的递推方程 第二类Stirling数定义 定义13.10 n 个不同的球恰好放到 r 个相同的盒子里的方法 数称为第二类Stirling数，记作 实例 具体方案如下： a,b,c | d a,c,d | b a,b,d | c b,c,d | a a,b | c,d a,c | b,d a,d | b,c 第二类Stirling数递推方程 证明：取球a1， a1单独放一个盒子， a1不单独放一个盒子， 先放n?1个球到 r 个盒子， 插入a1有 r 种方法， 第二类St