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高等数学复习(3重积分)
第九章 重积分习题课 (二) 三 重 积 分 * 一、三重积分的概念 1.定义: 2.物理意义: 的空间物体 的质量。 表示体密度为 二、三重积分的性质 1.线性性质: 2.可加性: 4. 单调性:若 在上, ,则 5.估值性质: 的体积,则在 上至少存在一点 ,使得 3. 的体积: 7. 中值定理:设函数 在闭区域 上连续, 是 , 则 三、三重积分的计算方法 1.利用直角坐标计算 (1) “先一后二”法 则 (2) “先二后一”法 其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个 平面闭区域,则 若 为 在 面上的投影区域 若 2.利用柱面坐标计算 若 则 3.利用球面坐标计算 若 则 四、三重积分的应用 (1)质量 (2)质心 , , (3)转动惯量 1.几何应用 2.物理应用 空间立体 的体积 五、三重积分的解题方法 计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域 所具有的特点。如果被积函数 积分区域 的投影是圆域,则利用球面坐标计算;如果 被积函数 ,则可采用先二后一法计算;如果 被积函数 ,积分区域 为柱或 的投影 是圆域,则利用柱面坐标计算;若以上三种特征都不具备, 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下: 利用球面极坐标计算 先一后二的方法 Yes No No Yes 转化为三次积分 先二后一的方法 求D1及截面面积 求 确定 上顶曲面 下顶曲面 为柱 或 投影为圆域 投影为圆域 利用柱面坐标计算 确定 上顶曲面 下顶曲面 利用直角坐标计算 Yes No 1 2 3 11 12 解题方法流程图 分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体,故本题应 考虑利用直角坐标计算;即按照框图中线路1 11的方法计算。 解: (如图)在平面 上的投影域 . 的上顶曲面 为 , 即 : 。 【例1】 计算三重积分 。其中 为平面 , , , ,所围成的四面体。 下顶曲面 为 。 于是,得 六、典型例题 【例2】 计算三重积分 。其中 是由曲面 与平面 , 及 所围成的闭区域。 分析 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点,所以,本题考虑利用直角坐标 来计算,即按照框图中线路1 11的方法计算。 解: (1) 求 (如图)在平面 上的投影区域为 (2) 确定上顶曲面 及下顶曲面 。 (3) 转化为先对 后对 的三次积分计算: 因为当 时满足 , , 。因此 【例3】 计算三重积分 。其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域。 分析 由于积分区域 在 坐标面上的投影区域为圆域 且被积函数中含有 ,所以可采用柱面 坐标计算,即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。 解:积分区域 的如图所示。 在柱面坐标下 故有 【例4】计算三重积分 . 其中 是由锥面 与平面 所围成的闭区域。 被
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