第三讲-庞敕几里德算法 .ppt

程序如下： int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b); } 利用gcd(a,b)求最小公倍数lcm(a,b) 中国剩余定理(孙子定理) 中国古代求解一次同余式组的方法。是数论中一个重要定理 Answer=a(mod m1); Answer=b(mod m2); Answer=c(mod m3); 注释：三数为a b c，余数分别为 m1 m2 m3，%为求余计算， 是“且”运算。 1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。 k1%b==k1%c==0 k1%a==1; k2%a==k2%c==0 k2%b==1; k3%a==k3%b==0 k3%c==1; 2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的 最小公倍数的整数倍即得结果。 Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c); P为满足Answer 0的最大整数； 例题： 例1：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4+385×3+320×2=2499，因为，2499440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。 例2：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。 然后，280×5+225×1+126×2=1877，因为，1877315，所以， 1877－315×5=302，就是所求的数。 * * * 模板来自于 * 模板来自于 * 模板来自于 * 模板来自于 * 第三讲 欧几里德算法 | | 刘奎 计算两个正整数a，b的最大公约数 用途 ab 且a mod b 不为0 条件 辗转相除法 别名 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 原理 欧几里德算法 用途 条件 别名 原理 irst 欧几里德算法证明 F a 表示成 a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数 d|a,d|b 而r = a - kb，因此d|r。 d也是（b,a mod b）的公约数。 （a,b）和（b,a mod b）的公约数 是一样的，其最大公约数也必然相等。 econd 唯一分解定理 S 算数基本定理又名唯一分解定理 内容： 任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积 这里P1P2P3......Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。 、 gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b 先除后乘，可有效防止数据溢出 hirdly 扩展欧几里德算法 T 。 如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数是１，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解,若加条件限定有有限个解。二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。这就是二元一次方程的定义。x+y=1是一个典型的二元一次不定方程 形如ax+by=c的不定方程称为二元一次不定方程，显然 （1）a=0或者b=0时，方程的解确定 （2）c不是gcd的倍数时，方程无解。 所以只考虑ab!=0且gcd(a,b)能整除c 的情况。 推导过程省略 gcd(a,b)=a*x+b*y 显然gcd(a,0)=1*a-0*0=a 公式推导过程： 已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) 对于a = b, b = a % b 而言，我们求得 x, y使得 ax + by = Gcd(a, b) a=k*b+r === r=a-k*b k=a/b r=a%b=a-k*b === b = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: ax + by = Gcd(a, b) ===