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　　探讨论文样稿 探讨论文样稿 导读：变动论证报告。学士学位论文题目整系数多项式的有理根问题学生王婷婷指导教师陈维红副教授年级2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年4月整系数多项式的有理根问题王婷婷摘要：多项 学号：2008210758 哈尔滨师范大学 学士学位论文 题 目 整系数多项式的有理根问题 学 生 王婷婷 指导教师 陈维红 副教授 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院 说 明 本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。 说明课题的（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。 若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。 学 士 学 位 论 文 题 目 整系数多项式的有理根问题 学 生 王婷婷 指导教师 陈维红 副教授 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院 哈尔滨师范大学 2012年4月 整系数多项式的有理根问题 王婷婷 摘要：多项式是代数学的基本研究对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且进一步学习代数以及其他数学分支也都会碰到，是研究许多数学分支的工具.在多项式理论中，关于整系数多项式有理根的研究一直是人们感兴趣的问题.整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位，本文将着重介绍多项式的基本定理，包括多项式的定义，运算，多项式的整除及根的问题以及整系数多项式的有理根及求法. 关键词：多项式；整系数多项式；整系数多项式的有理根 多项式是代数学的基本研究对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且进一步学习代数以及其他数学分支也都会碰到，是研究许多数学分支的工具.在多项式理论中，关于整系数多项式有理根的研究一直是人们感兴趣的问题.整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位. 1 多项式的基本理论 多项式理论是古典代数的主要内容，多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一.多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相互独立又贯穿其他章节.换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等代数的其他内容而自成体系，却可为其他章节的内容提供范例与理论依据. 1.1 多项式的定义 定义1.1.1 设k是一个数域，x是一个文字，n是一个非负整数，a0，a1......an?k形nn?1ax?ax?......?a1x?a0的表达式成为数域k上的一个关于文字x的一元多项式nn?1如 （简称多项式），通常用 如果 次数记为f?x?，g?x?laaxi表示，其中称为i次项，i 称为i次项系数. an?0则称anxn为首项，an称为首项系数，n称为多项式的次数，多项式f?x?的degf?x 3 4 5 6 7 8 9 10 探讨论文样稿 导读：?anxn?an?1xn?1?......?a1x?a0，g?x??bmxm?bm?1xm?1?......b1x?b0定义f?x?g?x???mxn?m??m?1xn?m?1?......?c1?c0，其中ci?akb0?ak?1b1?......?a1bk?1?a0bk，k?0,1,2......n?m.1.3多项式的整除定义1.3.1设f?x?，如果存在h?x??K?x?，使g?g?x??K?x?，xfxh???x???，则称f?x?整除g?x?，记f?x?|g?x?，此时f?x?称为g?x?的因式.? ?或者degf；首项系数为1的多项式称为首一多项式；系数全为0的多项式称为零多项式，记为0，零多项式没有次数，数域k上的所有多项式的集合记为k?x?.两个多项式相等当且仅当他们的次数相等，且同次数的系数相等. 1.2 多项式的运算 设f?x??anx?an?1xnn?1?......?a1x?a0，g?x??bnxn?bn?1xn?1?......b1x?b0是两 nn?1个多项式，规定： 加法 f?x??g?x???an?bn?x??an?1?bn?1?x ?......?a1?b1?x??a0?b0?. 1 数乘 kf?x??kanxn?kan?1xn?1?......ka1x?ka0其中k?K. 乘法 设 f?x??anxn?an?1xn?1?......?a1x?a0，g?x??bmxm?bm?1xm?1?......b1x?b0 定义f?x?g?x???mxn?m??m