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鸽巢原理-精品课程
第三章 容斥原理与鸽巢原理 3.1 De Morgan 定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.10 n对夫妻问题 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 课后习题解答 1、366个人中必然有至少两人生日相同(不包括闰年); 2、抽屉里散放着10双手套,从中任意抽取11只,其中至少 有两只是成双的; 3、某次会议有n位代表参加,则至少有两个人认识的人数是 一样的; 4、任给5个整数,其中至少有3个数的和被3除尽; 3.12 鸽巢原理 鸽巢原理: n个鸽子巢,若有n+1只鸽子在里面,则至少有一个巢里的鸽子数不少于2。 3.12 鸽巢原理 例3-26 从1到2n的2n个正整数中任取n+1个数,则这n+1个数中至少有一对数,其中一个数是另一个数的倍数 解...... 3.12 鸽巢原理举例 例3-27 设a1,a2,......am 是正整数序列,则至少存在整数k和L,1 ≤k<L≤m,使得和是m的倍数。 解...... 3.12 鸽巢原理举例 例3-28 已知X={1,2,3,4,...9},任意将X剖分成两个部分P和Q。其中至少有一个集合含有3个等差的数 解...... 3.12 鸽巢原理举例 证明 设所取的n+1个是 a1,a2,a3,....an,an+1 对a1,a2,a3,....an,an+1序列的每一个数去掉一切2的因子,直至剩下一个奇数为止,例如,68=2*34=22*17,去掉2的因子22,留下奇数17,结果得到由奇数组成的序列 r1,r2,r3...,rn+1 1到2n中只有n个奇数,故序列r中至少有两个是相同的。设为r=ri=rj故对应的有 ai =2air,aj=2ajr 若ai 〉aj,则ai 是aj的倍数 题目...... 3.12 鸽巢原理举例 证明 构造一个序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm 有两种可能 (1)若有一个sh是m的倍数,那么上式成立。 序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm (2)设在上面的序列中没有任何一个元素是m的倍数, 3.12 鸽巢原理举例 令sh≡rh(mod m),其中h=1,2,3,…,。 假定上面的序列中所有的项都非m的倍数,也就是r1,r2,…,rm无一为0,而且所有rh均小于m。不超过m-1的正整数只有m-1个,根据鸽巢原理,其中至少存在一对rh与rk,满足rL=rk。即sh和sk满足 sk≡ sh mod m 3.12 鸽巢原理举例 不妨设h >k。 sh=a1+a2+…+ak+ak+1+…+aL -) sk=a1+a2+…+ak sh-sk= ak+1+…+aL sL-sk=0 mod m 也就是说:sL-sk= ak+1+…+aL是m倍数。 题目...... 3.12 鸽巢原理举例 证明 用反证法,最后导致矛盾。 不妨设5∈p。由于1,5,9是等差数列,所以1和9不能同时和5属于p (1)若{1,5} ?P ,9 ∈Q 由于1,3,5是等差数列,所以假定3 ∈Q, 即{1,5} ? P,{3,9} ?Q 由于3,6,9是等差数列,所以假定6 ∈P, 即{1,5,6} ? P 3.12 鸽巢原理举例 由于5,6,7是等差数列,假定7 ∈Q,即{3,7,9} ?Q 由于7,8,9是等差数列,故假定8 ∈P, 即{1,5,6,8} ?P,{3,7,9} ?Q 余下2和4,若2 ∈P,则{1,2,5,6,8} ?P,其中2,5,8是等差数列,故假定{2} ?Q, 即{2,3,7,9} ?Q 最后,若4 ∈Q,则2,3,4是等差数列,故假定{4} ?P,即{1,4,5,6,8} ?P 但是4,6,8是等差数列,导出矛盾 3.12 鸽巢原理举例 (2)假定{5,9} ?P,1 ∈Q 由于5,7,9是等差数列,故1,7 ∈Q 又因1,4,7是等差数列,故假定
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