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山东理工大学教案第3
山 东 理 工 大 学 教 案
第 3 次课
教学课型:理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□
主要教学内容(注明:* 重点 # 难点 ):
①§2-2 微分方程(下)
B、非线性微分方程的线性化(#)
C、微分方程的求解
②§2-3 传递函数
A、传递函数的基本概念(*)
B、典型环节的传递函数(*)
教学目的要求:
①能对非线性微分方程进行线性化近似处理;
②掌握传递函数的基本概念以及各种表示方法;
③熟习八种典型环节的传递函数。
教学方法和教学手段:
教学方法:讲授
教学手段:板书与多媒体相结合
讨论、思考题、作业:
课后习题: P58 2-2(b)、2-3(b)、2-4(用传函)―。
参考资料:
①《自动控制原理》 高国燊主编 华南理工大学出版社
②《自动控制理论》 文锋主编 中国电力出版社
③《自动控制理论》 夏德钤主编 机械工业出版社
④《自动控制理论》 邹伯敏主编 机械工业出版社
注:教师讲稿附后
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型
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《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型
§ 2-2 微分方程
四. 非线性微分方程的线性化:
若对系统的元件特性尤其是静特性进行严格的
考察,不难发现:几乎程度不同的都存在着非线性
关系。如铁心线圈:
,
[空心时,为常数,所以]
这时有:
在此不是一个常数,与I是非线性关系。
故建立的方程为非线性的。其求解是相当困难的,
且没有通用解法。所以在允许的范围内进行线性
化处理,常用的方法――小偏差法,此法只适用于
非本质性非线性元件,对于本质性非线性将在
非线性系统一章中讨论。
★具有连续变化的非线性函数可表示为:y = f (x)
若取某一平衡状态为工作点。
如A点.:
当时, ,如B点。
设函数y = f (x)在附近连续可导,则可将函数在附近展开成台劳级数:
当变化量很小时,可忽略高次项。 则有:
这就是y= f (x)非线性方程的线性化表示用斜线代替曲线。
对具有两个自变量的非线性函数:,
同样的处理方法: , ,
当很小时,有,其中及。
例5.铁芯线圈:或
设原来处于某平衡点,则;且工作过程中只在附近变
化: 则
∴
∴; 即线性化增量方程。
实际使用时为: 。
结论: ⑴ 线性化增量方程:以平衡点处的切线代替曲线而得到变量对平衡点的增量方程。
⑵ 小偏差法:将非线性特性在某工作点附近的邻域内作台劳级数展开,忽略高次
项,仅取一次近似式即可。
⑶ 简化方法:将原非线性微分方程中的非线性项代之以线性增量形式,而其他线
性项的变量直接写成增量形式即可。
⑷ 注意:变量的变化必须是小范围的,增量方程中的一般可略去,形式与线性
方程一样。
§2-3 传递函数
用拉氏变换求解微方,虽思路明确,简单实用。但如果系统参数改变,特征方程及其解都会随之改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响,就必须多次计算,方程阶次愈高,计算工作量越大,故引入另一种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具,也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
一、传递函数的基本概念:
以网络为例。
,设,
则有
。 其中随形式而变,
而完全由网络的结构及参数确定。
令, 则有
若不变,则不变,所以的特性完全由的形式与数值来决定,且将传到了反映了系统自身的动态本质,表达了传递信号的性质和能力,故称它为RC网络的传函。
定义:对于线性定常系统来说,当初始条件为零时,输出量拉氏变换之比叫做
系统的传递函数 。
设线性定常系统的微方一般形式为:
=
当初始条件为零时有:
则
为复数,是复变量的函数,故称为复放大系数。
EMBED Equation.3 可见:有了微分方程,可以直接写出其传递函数,与c(t)有关的项为分母,与有关的项为分子。
RC网络: 微分方程 , 则传递函数 。
RLC网络:微分方程 ,
则传递函数 。
例3.速度控制系统。
1)运放:微分方程 , EMBED Equation.3 传函
2)运放Ⅱ:微分方程 ,传函
3)功放:微分方程:, 传函:
4)电机:微分方程
由于传函只适用于单输入——单输出情况
迭加原理有:
5)测速机:微分
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