中国矿业大学周圣武概率论与数理统计4第四章 随机变量的数字特征-1.ppt

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 例3 已知 的概率密度 例10 求 解 同理 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX )=CE(X ); 3. 三、数学期望的性质 4. 设X与Y 相互独立，则 E(XY )=E(X )E(Y )。 （当Xi 独立时） 注意:由E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出X,Y 独立 5.（柯西-施瓦尔兹不等式） 推广: 四、几种重要分布的数学期望 Ⅰ. X为离散型随机变量 Ⅱ. X为连续型随机变量 ⑴ 均匀分布 ⑵ 指数分布 ⑶ 正态分布 已知 例1 求 服从参数为 3 的指数分布， X , Y相互独立， 解 由随机变量的性质可知 例2 一民航送客载有20 位旅客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车， 就不停车。 以 X 表示停车的次数。 求E( X ).（设每个 旅客在各个车站下车是等可能的， 并设各旅客是否下 车相互独立）。 如到达一个车站没有旅客下车 第i 站无人下车, 第i 站有人下车. 解 设 则 注: 不是相互独立的。 设X与Y 相互独立，且 求 练习题 答案： * 周 圣 武 Tel: E-mail: zswcumt@163.com 中国矿业大学 理学院 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵 第四章 2. 随机变量函数的数学期望 1. 数学期望的概念 3. 数学期望的性质 4. 几种重要分布的数学期望 引例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的次品数X是一个随机变量. 如何确定小张每天生产的次品数的平均值呢？ 我们先观察小张100天的生产情况 （假定小张每天至多出现三件次品 ） 1.离散型随机变量的数学期望 可以得到这100天中 每天的平均次品数为 这个数能否作为 X的平均值吗？ 若统计100天, 32天没有出次品; 30天每天出一件次品; 17天每天出两件次品; 21天每天出三件次品; 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出次品，出一件、二件、三件次品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均次品数也不一定是1.27. n0天没有出次品; n1天每天出一件次品; n2天每天出两件才品; n3天每天出三件次品. 可以得到n天中每天的平均次品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计n天 , 以频率为权 的加权平均 当n很大时，频率接近于概率， 所以我们在求次品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为 以概率为权 的加权平均 这是一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 . 注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的 若级数 绝对收敛 。 设离散型随机变量X 的分布律为 简称期望或均值，记为 E(X). 则称此级数的和为X 的数学期望。 即 级数的和. 数学期望是随机变量的平均值， 与 X 的取 值 x k 的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。 定义1 定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和 解 设试开次数为X , 于是 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望. 例1 例2 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出 试问哪个人的射击水平较高？ 解 甲乙的平均环数可求得： 因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。 X：甲击中的环数 Y：乙击中的环数 期望值在决策中有着广泛的应用 假如，一家个体户有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)；如经营工艺品，风险小但获利少(95％会赚，但利润为1000元)．究竟该如何决策？ 所以权衡下来，他情愿去经营西瓜，因为西瓜的期望值高． 计算期望值： 若经营西瓜，期望值 E1=0.7×2000=1400元． 而经营工艺品期望值 E2＝0.95×1000＝950元． 练习题 1.设X~ b(n, p)，求E(X)。 2.设X~π(λ)，求E(X)。 3.设有3只球，4只盒子，盒子的编号为1、2、3、4，将球逐个随机地投入4只盒子中去，记X为其中至少有一只球的盒子的最小号码，求E(X)。 100/64 2.连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点