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第五节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线 一、无穷小量 极限为零的变量称为无穷小量. 定义1 则称 f 为 例如, 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 证 即， 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的 代数和(差、积）仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 二、无穷小的比较 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 定义: 常用等价无穷小: 例如, 定理4(等价无穷小替换定理) 证 例3 解 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意 例4 解 解 错 三、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 不是无穷大． 无界， 证 四、无穷小与无穷大的关系 定理5 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 五、小结 几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆， 零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. 四、渐近线 作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐 在中学里我们已经知道双曲线的 标准方程为 它的渐近线方程为 近线问题. 下面给出渐近线的一般定义. 定义4 设 L 是一条直线, 若曲线 C 上的动点 P 沿 曲线无限远离原点时, 点 P 与 L 的距离趋于零，则 称直线 L 为曲线 C 的一条渐近线(如图). L C 设斜渐近线 L 的方程为 设曲线方程为: 如图， 由渐近线的定义， L C 从而 又 所以， 斜渐近线： 的两个参数： （负方向类同） 则称 x = x0 是曲线 的垂直渐近线. 定义： 例9 求曲线 的渐近线. 并且 f (x) 在其他点处均有有限极限，所以求得垂 解 直渐近线为: 于是求得斜渐近线方程为 作业： 1、 2），6） 2、 2） 4、 3）