非线性方程求根、解线性方程组的迭代法.doc

福建农林大学计算机与信息学院 课程实习报告 课程名称： 数值分析课程实习 实习题目： 非线性方程求根、解线性方程组的迭代法 姓 名： 系： 数学与应用数学 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2008级 学 号： 指导教师： 职 称： 讲师 2011年6月 3日  福建农林大学计算机与信息学院数学类 课程实习报告结果评定 评语： 成绩： 指导教师签字： 评定日期： 目 录 一、非线性方程求根 1 1. 实习的目的和任务 1 2. 实习要求 1 3. 实习地点 1 4. 主要仪器设备（实验用的软硬件环境） 1 5. 实习内容 1 5.1二分法： 1 5.2牛顿迭代法 4 5.3 弦截法 6 6. 问题讨论与分析 9 7. 结束语 11 参考文献 12 二、解线性方程组的迭代法 13 1. 实习的目的和任务 13 2. 实习要求 13 3. 实习地点 13 4. 主要仪器设备（实验用的软硬件环境） 13 5. 实习内容 13 5.1 雅可比迭代法 13 5.2 高斯-塞德尔迭代法 16 6. 问题讨论与分析 18 7. 结束语 19 参考文献 20 一、非线性方程求根 实习的目的和任务 掌握非线性方程（组）的各种解法，包括二分法、牛顿迭代法等，并通过编程与上机运算，体会二分法与牛顿迭代法的不同特点； 掌握解非线性方程的弦截法，并与牛顿迭代法作比较； 了解各种方法的收敛性。 实习要求 能够熟练应用所学的数值计算方法；能够熟练使用MATLAB软件；对数值分析及其计算方法有进一步了解，通过实例，能够对所学非线性方程求根方法的优缺点有所体会。二分法： 用二分法求方程在附近的根。在区间上连续，且，则存在一点，使得。介值定理相当于方程根的存在性定理，称满足定理条件的区间为有根区间。 考察有根区间，取中点将它分为两半，然后进行根的搜索，即检查与是否同号，如果确系同号，说明所求的根在的右侧，这时令；否则在的左侧，这时令。不管出现哪一种情况，新的有根区间的长度仅为的一半。 对压缩了的有根区间又可施行同样的手续，即用中点将区间再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根在的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间，其长度是的一半。 如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间 ， 其中每个区间都是前一个区间的一半，因此的长度当时趋于零。就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于一点，该点显然就是所求的根。 每次二分后，设取有根区间的中点作为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近似根的序列，该序列必以根为极限。 不过在实际计算时，不可能完成这个无限过程，其实也没有这种必要，因为数值分析的结果允许带有一定的误差。由于，只要二分足够多次（即充分大），便有，这里为预定的精度。 5.1.2二分法求解的计算步骤 步骤一：准备 计算在有根区间端点处的值； 步骤二：二分 计算在区间中点处的值； 步骤三：判断 若，则即是根，计算过程结束。否则作如下检验： 若与异号，则根位于区间内，这时以代替； 若与同号，则根位于区间内，这时以代替； 反复执行步骤二和步骤三，直到区间长度缩小到允许误差范围之内，此时区间中点即可作为所求的根。 5.1.3二分法的方程求解 1）利用MATLAB软件，建立m文件dichotomy.m function [k,x,e,y]=dichotomy(fun,a,b,precision) %二分法 %输入a,b为区间左右端点，precision是预选设定的精度 %输出k为二分法的次数，x是方程在(a,b)内的实根x*的近似值， if nargin4 | nargin3 error(错误的输入参数个数！) end if nargin==3,precision=1e-6;end k=0;e=abs(b-a); while eprecision ya=subs(fun,a);yb=subs(fun,b); if ya*yb0 disp(警告：区间端点的函数值同号，请重新输入区间端点！),return end x=(a+b)/2;y=subs(fun,x); if y==0,return elseif y*yb0,b=x; else a=x; end e=abs(a-b); k=k+1; [k,x] end x=(a+b)/2;e=abs(a-b);y=subs(fun,x); 2）在MATALB窗口输入如下指令： [k,x,e,y]=dichotomy(x^3+x^2-3*x-3,1,2,1e-6) 3）运行结果： ans = 1