离散数学导论盘王元元张桂芸第七章演示文稿.ppt

定理7.30 设? ,?,γ为任意基数，那么 （1）如果?≤?，那么? γ≤? γ。 （2）如果? <?，那么? γ< ? γ。 第七章 基数 7.2 基 数 7.2.3 基数算术 定理7.31 对任意无限基数?，?α= 2 α。 （注意，2为集合{0,1}。） 在线教务辅导网： 更多课程配套课件资源请访问在线教务辅导网 馋死 尚辅网 / 第 七 章 基 数 7.l 有限集和无限集 7.2 基 数 第七章 基数 7.1.1 有限集、可数集与不可数集 7.1.2 无限集的特性 第七章 基数 7.l 有限集和无限集 7.2.1 有限集、可数无限集 和连续统的基数 7.2.2 基数比较 7.2.3 基数算术 第七章 基数 7.2 基 数 第七章 基数 7.1.1 有限集、可数集与不可数集 7.l 有限集和无限集 定义 7.1 集合A称为有限集，如果存在集合 {0，1，2，…，n-1} （自然数n）到A，或A到该集合的双射；否则称A为无限集。 第七章 基数 7.1.1 有限集、可数集与不可数集 7.l 有限集和无限集 定理7.1 任何有限集的任意子集为有限集。 定理7.2 任何含有无限子集的集合必定 是无限集。 第七章 基数 7.1.1 有限集、可数集与不可数集 7.l 有限集和无限集 定义 7.2 集合A称为可数无限集（countable infinite sets）， 如果存在双射f：N→A（或双射f：A→N）。其它无限集称为不可数无限集。有限集和可数无限集统称为可数集（countable sets）。因此，不可数集即不可数无限集。 第七章 基数 7.1.1 有限集、可数集与不可数集 7.l 有限集和无限集 定理7.3 整数集为可数无限集。 定义7.3 称集合A是可枚举的（recursively enumerable） 如果存在满射f：N→A。f被称为枚举函数。 第七章 基数 7.1.1 有限集、可数集与不可数集 7.l 有限集和无限集 定理7.4 非空集合A是可数集当且仅当 A是可枚举的。 定理7.5 有理数集是可数集。 定理7.6 可数个可数集的并集是可数的。 第七章 基数 7.1.1 有限集、可数集与不可数集 7.l 有限集和无限集 定理7. 7 如果A是有限集，B是可数集，那么A 到B的全体函数的集合BA为可数集。 定理7.8 实数集的子集[0，1]区间是不可数集。 第七章 基数 7.1.2 无限集的特性 7.l 有限集和无限集 定理7.9 任何无限集合均含有一可数无限子集。 定理7.10 集合A为无限集，当且仅当有A的真子集A0及双射函数f：A→A0。 第七章 基数 7.l 有限集和无限集 7.1.2 无限集的特性 选择公理（choice axiom） 对任何一个集合族A = {Ad ? d?D}， 总有集合B，使B与诸Ad的交均为 单元素集合。常称B为A的代表元素集。 第七章 基数 7.2 基 数 7.2.1 有限集、可数无限集和连续统的基数 定义7.4 称集合A的基数（cardinal number）为 n(n为自然数)，如果有双射f:{0,1,2, …,n-1}→A, 或双射f：A→{0,1,2, …,n-1}。记为? A ? = n 。 第七章 基数 7.2 基 数 7.2.1 有限集、可数无限集和连续统的基数 定义7.5 称集合A的基数为?0，如果有双射 f：N→A，或双射f：A→N，N为自然数集。 记为 ? A ? = ?0。 第七章 基数 7.2 基 数 7.2.1 有限集、可数无限集和连续统的基数 定义7.6 称集合A的基数为C，如果有 双射f：[0，l]→A，或双射f：A→[0，1]。 记为? A ? = C。具有基数C的集合常称为 连续统（continuum）。 第七章 基数 7.2 基 数 7.2.1 有限集、可数无限集和连续统的基数 定理7.11 实数集上的任何闭区间[a，b]，开区 间(a,b) (a<b),以及实数集本身都是连续统。 第七章 基数 7.2 基 数 7.2.2 基数比较 定义7.7 设A，B为任意集合。 （1）称A，B基数相等