郑州大学2008至2009学年第一学期线性代数期末考试试题A（非常不错）.doc

郑州大学2008至2009学年第一学期线性代数期末考试试题A 郑州大学软件学院《 2008-2009学年第一学期（A卷） 题号 一 二 三 四 五 六 总分 分数 合分人：?????????????????????复查人：?????????????????? ? 一、填空题：（每空3分，共15分） 分数 评卷人 1.??????设A为n阶方阵且＝，则＝____________； 2.??????设A=?，??,则A*＝__________________； 3.??????设A＝（aij）5×n?,且R（A）＝3，则方程组A=的基础解系中所含线性无关的解向量的个数为_______________； 4.设A与B相似，则R（A）??_________R（B）(＝或≠)； 5.实对称矩阵的不同的特征值所对应的特征向量必_______________。 二、计算下列各题（每题10分，共20分） 分数 评卷人 1.计算行列式： D＝ 2.设A＝??且?AB＝A+2B,求矩阵B。 三、（15分） 分数 评卷人 设向量组： ＝（1，－1，3），??＝（2，－1，4）， ＝（3，－4，11），??＝（4，－2，9）。 求其一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出。 四、（15分） 分数 评卷人 设，问t取何值时，该方程组有解？并在有解时求出通解（要求把解写成向量的形式）。 五、（20分） 分数 评卷人 求一个正交线性变换，化二次型 f= -为标准形。 六、(共15分） 分数 评卷人 1.（7分）??设＝O?（K为正整数），证明： =E+A++…+ ??2.（8分）设?，?，线性无关， 令??，＋?，?＋＋?。??证明：?，，?也线性无关。 郑州大学软件学院《线性代数》课程试题 2008-2009学年第一学期（A卷标准答案） 一。填空 1. 4；????2.；????3.n-3；????4.?=?；??5.正交 二、计算下列各题 1.计算行列式： D＝------------4 ＝6×---------------------5 6×---------------------9 =6×=48-----------------------10 2. 解1：AB－2B＝A??，??（A－2E）B＝A――――――――――2 A－2E＝――――――――――――――――3 （A－2E，A）＝―――――――――4 ?????――――――――――――――5 →―――――――――――――――9 B＝――――――――――――10 三． 解：设＝――――3 →―――――――5 ??????? ????????→――――――――7 ????????→――――――――9 ?，为最大无关组，――――――11 ＝5－?????――――――15 四． 解：――――――――――3 →――――――――－5 →――――――――――7 当t=7时，方程组有解----------9 ?????------------------------------------------------12 =++----------------------------------------------14 ????（???∈R???）――――――――――――――――15 五． 解：A＝―――――――――――――2 ＝―――――――――――3 ???????＝－（）＝0 ??＝－2?，??＝＝1――――――――――6 当?＝－2?时， （A＋2E）＝――――――――――――7 ?????????→――――――――――――－8 ――――――――――――――――――－9 ，??＝―――――――――――11 当?＝＝1时， A＋E＝→----------------13 ?，，---------------15 ，??，---------------------16 正交矩阵为???T＝?---------17 ＝??所求正交变换为：--------18 f = -2++-------------------------------------20 六．?1.????证明：（E－A）(E+A++…+)----------------------2 =E+A++…+—A——…——-----------5 =E-=E??-------------------------------------------6 所以??=E+A++…+??----------------------------7 ??2.证明：??????令++--------------------1 ??????????????=?+(＋)+(＋＋