电大微积分初步期末复习题.doc

1.定义域 ----- 的定义域是 的定义域 的定义域 2.函数解析式 --- 先设t,解出x，代入原式整理成t的函数，最后再把t换成x 函数，解 函数，解 3奇偶性 --- 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称 奇函数：，，， 偶函数：，， 4.间断点---分母为零的点等 函数的间断点是 5．重要极限 ， 无穷小量：极限为0（） 若,求。解：。若求。解：。 6.连续性----极限值=函数值，方法：将分界点分别代入两个表达式，值相等 函数函数 在x = 0处连续，解： 函数在处连续. 解： 7.极限 分子分母同时分解因式，约分后，再代入 .计算极限 8.导数 复合函数求导：先对最外层关系求导，同时乘以内层函数的导数。二阶导数：求二次导 , ， , 9.导数与微分 微分 可导(可微)必连续(极限值=函数值），连续不一定可导(可微) , , , 10.导数应用 一阶导为0的点（）叫驻点。可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。切线斜率=函数导数 切线方程： 曲线在点的斜率 曲线在点处的切线方程 ， 曲线在点处的切线方程是 11.单调性 一阶导大于零，单调增加（上升）。一阶导小于零，单调减少（下降）。 函数在区间上先减后增，函数在区间是先减后增 函数的单调增加区间是。解： 12.导数积分互逆 最后一步是积分得+C,最后一步是d微分结果dx,最后一步是求导没附加 ，，　 =，，， 13.原函数 　f(x)叫F(x)的导数，F(x)叫f(x)的一个原函数　 若，则 若是的一个原函数，求。 14．凑微分公式 +C ＝ = = , 15.分部积分与定积分 = =- == 16积分性质与广义积分 奇函数在对称区间的定积分为0, 偶函数的等于单侧区间定积分的2倍 广义积分，，极限存在为收敛，不存在为发散 （收敛）（收敛） 17.微分方程 微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶. 未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程。 形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程. 为3阶微分方程. 为6阶 是线性微分方程 为可分离变量的微分方程. ．. 不是线性微分方程 ； ； 不是可分离变量的微分方程 微分方程的通解为 微分方程的通解为 微分方程的特解为 18.应用题 (1)欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为 于是 =3 令得唯一驻点 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省. (2)用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有 所以 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元） (3)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点，且，说明是函数的极小值点，所以当，时用料最省。 (4)某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？ 解：设容器的底半径为r,高为h，则其表面积为 由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用材料最省，此时。即当容器的底半径与高分别为和时，用料最省。 (5)设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解：设矩形的边长分别为（厘米），则有 又旋转成的圆柱体的体积为 求导得 令得舍去）。 ，说明是极大值点，故当厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。