江西财经大学 微积分 本科 专升本内部资料 不定积分.ppt

例1 求 解 令 例2 求 解 令 例３ 求 解 令 例5.求下列积分 例6.求下列积分（指数换元） 例7.求下列不定积分（三角换元） 例8.求下列不定积分 ４.分部积分法 解（一） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 例1 求积分 解（二） 令 解 （再次使用分部积分法） 例2 求积分 例3 求积分 解 例4 求积分 解: 例5 求积分 解 注：本题也先换元后分部积分. 解 例6 例7 求 解:令 ,则 例8. 例9. 例10. 例11.设 的一个原函数 求 解： 5.其它积分 例1.求下列积分 注：利用积化和差公式： 例2.求下列积分 4).抽象函数的积分 运算方法:换元积分法、分部积分法。 解 由题设知， * 一、基本概念及结论 1.原函数：若函数f(x)的原函数为F(x) 则有： 如果一个函数存在原函数，则必存在无穷多个原函数， 2.不定积分： 注1：在 第四章 不定积分 这无穷多个原函数可表为它的一个原函数加上一个任意常数： 連续函数一定存在原函数。 ； 注2：不定积分的结果必须包含一个任意常数C. 3.不定积分的几何意义： 表示一簇 积分曲线，每条曲线在其横 坐标相同的点处的 切线互相平行。 0 x y 已知曲线的切线 斜率求曲线方程 就是对斜率求不 定积分。 4.不定积分的性质 （1）求不定积分与求导数或微分互为逆运算 1 2 3 4 思考： (2)不为零的常数因子可提到积分号外 （3）和的积分等于积分 的和 5.基本积分公式表 6.不定积分中的常 用变换与技巧 （1）分解、折项、同除同乘； （2）三角变换：倍角、半角、积化和差、 被积函数中存在复合关系先换元再说. 被积函数中含抽象函数 时，设法求 的表达式. 对三角函数的积分，化为同角同名. 被积函数中含有导数的积分—分部积分 被积函数中出现 二、基本问题及解法 问题(一) 与原函数有关的命题 运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、 不定积分与微分的关系。 运算方法：（1）在单项选择题中求不定积分，选 择具有任意常数C的备选答案求导，若其值等于被 积函数，则此备选答案为所求；（2）已知不定积 分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导 分析：由 而 故选(B) 例4. 则 分析： 例5.设 的一个原函数为 则 分析： 由于 故 问题(二)：不定积分的计算 计算不定积分，通常要对被 积函数进行适当的 变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒 代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、反 三角变换，将积分化为常规型。 1.直接积分法: 有些积分可直接用不定积分的性 质和基本积分公式求之;或者进行代数、三角的恒 等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公 式）化为简单函数和的积分。 2.第一换元法(凑微分法) 凑微分法是当被积函数为复合函数 时， 将积分变量x的微分dx凑成 的形式再用公式。 例2.求列不定积分 例3.求下列积分 注：本题也可用换元法，令 原式 例4.求下列积分 3.第二换元法——结果要求变量回代 类型特点 （1）被积函数中含有根式、且又不便直接积分; （2）被积函数含指数、对数、三角、反三角函 数、且又不便用其他方 法积分. （2）三角换元——变量回代用直角三角形 Ⅰ Ⅱ Ⅲ *