预测战争模型 微分方程组的解.doc

案例 预测战争模型 1.1 问题描述 1 1.2 分析与建模 1 1.3 模型求解 2 1.4 模拟求解 5 1.4.1 运行情况1（a=0.4,b=0.10，delta_t = 0.3） 5 1.4.2 运行情况2，a=0.15; b=0.1;delta_t=0.05; 7 1.4.3 运行情况3，a=0.15; b= 0.1;delta_t=0.001; 8 1.4.4 求解程序 10 问题描述 在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester提出了预测战争结局的数学模型。根据战争的不同特性，他给出了三种作战模型。在建立模型时，简化了许多因素，模型变得简单，但仍有一定的实际意义。 现考虑X、Y两方孤立交战的部队，双方均无增援部队的情况。希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的： 1.预测哪一方将获胜？ 2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？ 4.战斗的持续时间。 分析与建模 假定X部队t时刻存活的士兵数为x(t)，而Y部队在t时刻存活的士兵数为y(t)，将x(t)与y(t)都看作连续变量。并假定双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，即不考虑俘虏和伤员。 关于双方的作战伤亡情况，一种合理的假设是，在Δt时间内，X部队被杀死的士兵数Δx将取决于Δt的长短，以及在Δt起始时刻与其交战的Y部队的士兵数。假定是一种正比关系，即 Δx=－ayΔt 其中a是一个常数，，代表了Y部队的战斗力，称为“杀伤率”，更明确地说，a是Y部队的一个士兵在单位时间内杀死X部队的名士兵数。类似地，对于Y部队有 Δy－axΔt 令Δt0，得到两个微分方程 ( a0) ( b0) 从而得到联立微分方程组如下： (6.3.4) 模型求解 对联立微分方程组(6.3.4)中的任一方程进行积分，直接求出方程的解是很困难的也无必要。 根据作战的实际背景，可以分析出以下几点：方程组里的变量满足x≥0，y≥0，有唯一平衡点（0，0）； x(t)，y(t)都是递减函数，且随着x，y的减小，其衰减速度也在降低。 在我们的模型中，若有一方部队的士兵数为零，就标志着战斗的结束。 将两个方程相除消去时间变量t，得 可分离变量 对两边积分得到 或者 代入初始条件，有 （6.3.5） 在相平面（xy平面）上，轨线是双曲线的一部分，如图6.3.1所示。 为预测何方部队获胜，将剩下多少士兵，先考虑一种特殊情况。战斗开始时双方投入兵力满足 ，解曲线方程（6.3.5）化为 或 方程的轨线是一条过原点，斜率为的直线，称为等战斗力直线。这种情况下，战斗将无情地从（x0，y0）点进行到（0，0）点，表明这是一场势均力敌的，导致相互毁灭的战争。 若，可从相位图观察到点（x0，y0）位于等战斗力直线的左上方，可以判断Y部队将获胜，在轨线方程中令y=0可以验证这个结论，若令x=0 , 得， 即为根据模型预测出的Y部队获胜时的幸存士兵数。 如果战败的一方希望转败为胜，那么开始他们应投入多少兵力呢？ 现假设双方初始兵力分别为x0=10000，y0=5000，，假设在一个小时（单位时间）内每个Y部队的士兵杀死0.15个X部队士兵，而X部队的每个士兵在一个小时内杀死0.1个Y部队士兵，则方程组（6.3.4）为 （6.3.6） 由于，，有 ，模型预测X部队将获胜，Y部队若要获胜最初投入兵力y0必须满足，即应满足：或 y08165。 怎样估算战斗的持续时间不太容易，现在先不去求解方程组，用分析方法做出估计。 有 ， 意味着战斗开始时Y部队的士兵以每小时1000人的速度被歼灭，如果一直持续这种速度，仔细思考实际情不会如此，因为X部队的士兵数也在减少，故战斗至少持续5000/1000=5（小时）。 战斗结束时X部队余下的士兵数为 名。 此时，Y军队士兵被歼灭的速度为 这是Y部队士兵被歼的最慢速度，若保持不变，有 y =－790.1t + 5000, 令y=0, 解得t=5000/790.1≈6.32小时，应为Y部队被歼灭的最长时间。分析结果表明，战斗会持续5～6.32小时，取中间值约为5.7小时。 通过求解微分方程组可得到确切的答案。将方程组（6.3.6）的第一个方程两边微分，得 把其中的第二个方程代入第一方程，有 二次积分得到方程的解为 ，t≥0， （6.3.7） 其中A和B是积分常数，代入初始条件x0=1000