图像重建的岭估计算法研究.pdf

图像重建的岭估计算法 潘晋孝 韩焱 王明泉 缪丽娜 (华北工学院现代无损检测中心，太原，030051) 摘要图像重建常常被转化为缌陡回归问题来讨论，由于通常情况下投影矩阵是稀疏的、 奇异的，方程组是不相容的，此时最小二乘法得到的估计值与真值的偏差变得很大， 且不稳定．为了解决这一问题本文引入岭估计，讨论了它的求法，给出了在实际应 用时相应迭代形式的改进． 关键词图像重建算法岭估计 图像重建CT(ComputedTomography)技术，自上个世纪70年代以来，在医学领域中得到 广泛应用，且发展迅速，在技术和计算方法方面都已比较成熟。80年代起，人们将医用CT 移植到工业上，逐步发展成为工业CT。主要用于各种各样的工业器件的无损检测。’由于在工 业上其研究对象的形状、大小、密度等具体条件有相当大的差异，因而出现了许多难以解决 的问题。近年来，在许多学者的共同努力下，有了不少进展。一方面是检测仪器和技术(特 别是计算机软、硬件技术)的进步；另一方面发展和应用了一些有效的数学方法(不乏一些 较新的数学方法)。这里我们讨论的是基于射线理论的图像重建的算法。从数学的角度来看， 图像重建就是由一个函数的线积分反求这个函数的问题。当射线是直线时，相应的方法比较 成熟。但在应用中，由于客观条件的限制，经常出现投影数据不完全的问题，再者，由于X 射线束的宽度、散射、射束的硬化、光子统计及检测器的不准确性以及射线源的不一致性造 成一些误差，使得我们的测量值只能用以估算积分值。为了能得到最佳的重建图像，比较客 观地反映实际物体断面，人们研究出各种各样的算法，不断地总结它们的利弊。由于实际问 题的多样性、复杂性，研究更多的算法，相互借鉴，将是解决重建问题的必经之路。 +1引言 将一个正方形图像区域划分成甩2个相等的正方形，每个小正方形被称为图像元素，简称 像素。用一个二元函数来刻划图像，令其在同一个像素网格内的任何一点有相等的值，则得 一个，2×，z的数字化图像。设我们要重建物体的截面图像是定义在某图像区域的二元函数 f(x，)，)，则需根据测得的投影数据分别求出f(x，Y)在这，12个像素上的值，它表示被检物体 在该像素处的密度。就X射线图像重建问题而言，由于射线穿过被检测物体时的线性衰减系 数主要依赖于物质的密度，因而在某种意义上讲像素值也表示射线在该像素处的线性衰减系 数。 当射柬穿过物质的某个截面时，由于每个像素的线性衰减系数不完全相同，相当于射束 601 穿过多种介质，此时射束强度按下列方程下降 一∑一o I=Ioe’ · 其中，。是射线的输入强度(单位时间内单位横截面积的光子数)，I是测得的射束强度， 一表示第／个像素的线性衰减系数，0表示射束穿过第／个像素的长度。这时有 山㈡=莩M 称也㈥为该条射线的投影。 为了重建物体的某一截面，用X射线束从不同的方向对该端面进行扫描，假设共有I条 射线，测量并计算得其投影Y=◇l，Y2，…，Y1)7’，称为投影测量向量；记像素个数为，=疗2； X=(xl，x2，…，x-，)7’称为图像向量：第i条射线穿过第／个像素的长度为 勺 (f=1，2，…，，；／=1，2，…，，)，记R=(勺)，。』，称为投影矩阵，再者，由于Y是由测 量计算得的，‘那么必定存在测量误差，记P=(eI)，xl，其中口』表示获得投影乃时所带来的误 差，并假定P，(／=1，2，…，，)间相互独立，且数学期望为0，协方差矩阵为盯2E，其中E是 I阶单位矩阵。于是图像重建问题就转化为基于线性回归模型 】，=冗Z-4-e (1) 来估计图像向量Z。首先考虑模型(1)的最小二乘估计，即寻找使 ㈣2-It一心0 (2) 取